КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

1. Определение амплитуды колебаний.

2. Зависимость скорости от времени.

3. Превращения энергии в электромагнитном контуре.

4. Величина скорости при заданном смещении.

 

1 Точка, совершающая гармонические колебания вдоль оси X, проходит путь 1 м за 2 полных колебания. Определить амплитуду колебания точки.

За одно колебание точка проходит путь, равный учетверенной амплитуде:

Ответ: 0,125 м (время решения 5 минут)

2 Точка совершает гармонические колебания с периодом 6 с. За какое время скорость точки меняется от максимального значения до половины максимального значения ?

Координата точки меняется по гармоническому закону:

.

Ее скорость можно найти дифференцированием:

Введем следующие обозначения:

  - максимальная скорость;

 - фаза колебания, при которой скорость максимальна;

 - фаза колебания, при которой скорость уменьшилась до заданного значения.

Тогда, учитывая, что

получим

 

Из условия задачи следует, что скорость изменится вдвое:

Это произойдет первый раз при изменении фазы на /3 относительно значения, при котором скорость максимальна:

Ответ: 1 с (время решения 10 минут)

Приведенное решение задачи является аналитическим. Более короткое решение можно получить, анализируя график скорости на рисунке :

Видно, что фаза должна измениться на , что произойдет через время

.

 

3 Контур состоит из катушки индуктивностью 0,2 Гн и конденсатора емкостью 10 мкФ. Конденсатор зарядили до напряжения 200 В. Какой будет сила тока в контуре в момент, когда энергия контура окажется распределенной поровну между электрическим и магнитным полями ?

При электромагнитных колебаниях энергия распределяется между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки , причем

Полная энергия колебаний равна сумме энергий обоих полей и, равна начальной энергии конденсатора, заряженного до максимального напряжения Umax:

.

Cледовательно:

Откуда получаем ответ:

 

Ответ: 1 А (время решения 10 минут)

 

4 Точка совершает гармонические колебания с периодом 0.314 с и амплитудой 2 см. Найти величину скорости точки в момент, когда смещение точки из положения равновесия равно 1 см.

Если точка совершает колебания по закону

то ее скорость можно найти дифференцированием:

Заданное смещение точки составляет половину амплитуды ее колебаний. Значение фазы в этот момент времени равно

Здесь учтено, что смещение может происходить как в положительном, так и в отрицательном направлении. Таким образом может принимать значения:

, где k = 0, 1, 2, 3 ... (2)

Возьмем одно из значений последовательности (2), например, , и найдем величину скорости:

Для всех остальных значений фазы, удовлетворяющих условию (2), значение скорости будет таким же, поскольку

Подставляя численные значения в формулу (3), находим

Ответ: 0,346 м/с (время решения 20 минут)