Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_2oo69e9i26hesj88etgd50al31, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_2oo69e9i26hesj88etgd50al31, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Районный тур. 8 класс (с решениями)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Районный тур. 8 класс (с решениями)

Задача 1: Разложить на множители многочлен x4 + 4y4.

Решение: Искомое разложение: x4 + 4y4 = (x² + 2y²)²  (2xy)² = (x² + 2y²  2xy)(x² + 2y² + 2xy).

Задача 2: Доказать, что если между цифрами числа 1331 вставить по равному количеству нулей, то получится точный куб.

Решение: Пусть между цифрами данного числа вставлено по n нулей. Тогда образуется число 1  103n + 3  102n + 3  10n + 1, равное (1 + 10n)³.

Задача 3: Группа из 21 мальчика собрала 200 орехов. Докажите, что двое из них собрали одинаковое количество орехов.

Решение: Пусть все мальчики собрали разное число орехов, и пусть i-ый собрал ai штук. Без ограничения общности a1 < a2 <    < a21. Так как все ai  целые неотрицательные числа, имеем a1 ≥ 0, a2 ≥ 1, , a21 ≥ 20. Но тогда a1 + a2 +    + a21 ≥ 210 > 200  противоречие.

Задача 4: Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон ее заключающих и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны.

Решение: Достроим треугольник до параллелограмма ABDC (см. рисунок). Тогда его медиана AA1 будет равна половине диагонали AD. В треугольнике ADC сторона AD меньше суммы двух других сторон AC и CD. Отсюда вытекает первое утверждение. Рассмотрим далее два треугольника AA1C, A1DC. В первом из них сторона AA1 больше разности сторон AC  A1C. Во втором  сторона A1D больше разности сторон DC  A1C. Если просуммировать эти два неравенства и разделить то что получится на два, то получится второе утверждение.

http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.96-97.rayon.8klass&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW