Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Районный тур. 10 класс (с решениями)

Задача 1: Докажите, что , при всех неотрицательных a, b, и c.

Решение: Пусть c  наибольшее из данных трёх чисел, и пусть c = m + d, где . Тогда d неотрицательно, а левая часть неравенства записывается в виде . Легко видеть, что это выражение не меньше, чем m³ + m²d = m²c. Остаётся доказать, что m² ≥ ab, что немедленно следует из равенства .

Задача 2: Даны простые числа p и q, причём q³  1 делится на p, и p  1 делится на q. Докажите, что p = 1 + q + q².

Решение: q³  1 = (q  1)(q² + q + 1) делится на p. Учитывая, что p  простое,и p > q (так как p  1 делится на q), имеем q² + q + 1 =  α p, где  α   натуральное число. Ясно также, что для некоторого натурального  β  справедливо p  1 =  β q. Сложив почленно оба уравнения, получим: q(q + 1   β ) = p( α   1). Так как ни q, ни q + 1   β  на p не делятся (оба эти числа меньше p), имеем  α   1 = 0, откуда q² + q + 1 = p, ч.т.д.

Задача 3: Как сварить яйца за 15 минут, пользуясь песочными часами на 7 и 11 минут?

Решение: Так как 15 = 2  11  7, достаточно запустить одновременно те и другие часы, начать отваривать яйца, когда впервые высыпется песок из семиминутных часов, а завершить  когда песок во второй раз высыпется из одиннадцатиминутных.

Задача 4: Точки A1, B1 и C1 взяты соответственно на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC так, что . Докажите, что .

Решение: Пусть , и . Из условия , учитывая, что , получаем: . Так как векторы и не коллинеарны,  λ    μ  =  μ    τ  = 0, откуда  λ  =  μ  =  τ . Остаётся заметить, что , и .

http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.96-97.rayon.10klass&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW