Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_kqe27sb180rqtd0g4ha5gu3l30, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_kqe27sb180rqtd0g4ha5gu3l30, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Заочный тур. 9 класс (с решениями)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Заочный тур. 9 класс (с решениями)

Задача 1: Доказать, что число является точным квадратом для любого натурального числа n.

Решение: Так как , доказательство сводится к проверке факта, что число   целое. Но это очевидно, так как сумма цифр числителя дроби равна 3.

Задача 2: Верно ли, что для любых натуральных чисел A, B и C найдется натуральное число K такое, что A + K делится на C, а A + B + K делится на C + 1?

Решение: Да, верно. Рассмотрим число K = BC  A + mC(C + 1), где m  какое-нибудь натуральное число, достаточно большое, чтобы K было положительным. Тогда K + A = C(B + m(C + 1))  делится на C, а K + A + B = (C + 1)(B + mC)  делится на C + 1. Натуральность K сомнений не вызывает.

Задача 3: В городе n домов. Какое максимальное число непересекающихся заборов можно построить в этом городе, если каждый забор огораживает хотя бы один дом и никакие два забора не огораживают одну и ту же совокупность домов?

Решение: Пусть  φ (n)  наибольшее число заборов, ограждающих n домов.

2n  1 забор построить всегда можно: занумеруем дома номерами от 1 до n и построим n заборов по правилу: i-ый забор огораживает совокупность домов с 1-го по i-ый. Ещё n  1 получим, огораживая каждый дом в отдельности, начиная со второго. Доказано, что  φ (n) ≥ 2n  1.

Предположим, что  φ (n) не всегда равно 2n  1, и пусть n наименьшее число с таким свойством. Ясно, что n ≠ 1. Построим  φ (n) заборов в соответствии с требованиями задачи. Существует забор (назовём его внешним), огораживающий все дома. Выберем забор (I), отличный от внешнего и огораживающий наибольшее число домов  k. Тогда существует забор (II), огораживающий остальные n  k домов (следствие максимальности числа построенных заборов). Все остальные заборы находятся либо внутри I, либо внутри II. Имеем:  φ (n) =  φ (k) +  φ (n  k) + 1. Так как и k, и n  k меньше n,  φ (k) = 2k  1  φ (n  k) = 2n  2k  1, поэтому  φ (n) = 2n  1 вопреки сделанному предположению.

Ответ: 2n  1 забор.

Задача 4: Докажите равенство треугольников по трем медианам.

Решение: Пусть AM, BN и CP  медианы треугольника ABC равные соответственно медианам A1M1, B1N1 и C1P1 треугольника A1B1C1. Продолжим медиану AM за точку M и отложим на ней отрезок MK = MO, где O  центр тяжести треугольника ABC. Проделаем аналогичное построение для треугольника A1B1C1 (см. рисунок).

Четырёхугольник BOCK  параллелограмм, так как его диагонали делятся пополам точкой их пересечения, поэтому (учитывая свойство медиан делится в отношении 2:3 в точке пересечения) треугольник BOK подобен треугольнику, составленному из отрезков AM, BN и CP с коэффициентом подобия ⅔. То же верно и для треугольника B1O1K1. Тогда  ∆ BOK =  ∆ B1O1K1, поэтому BM = B1M1 как медианы в равных треугольниках, откуда BC = B1C1. Аналогично доказываются равенства AB = A1B1 и AC = A1C1.

http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.96-97.zaochn.9klass&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW