Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_k3ivcfq60kpghvnueh85o8bjh3, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_k3ivcfq60kpghvnueh85o8bjh3, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Заочный тур. 10 класс (с решениями)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Заочный тур. 10 класс (с решениями)

Задача 1: Три гонщика (A, потом B и затем C) стартуют с интервалом 1 мин. из одной точки кольцевого шоссе и двигаются в одном направлении с постоянными скоростями. Каждый гонщик затрачивает на круг более двух минут. Сделав три круга, гонщик A в первый раз догоняет B у точки старта, а еще через три минуты он вторично обгоняет C. Гонщик B впервые догнал C также у точки старта, закончив 4 круга. Сколько минут тратит на круг гонщик A?

Решение: Пусть tA, tB и tC  время в минутах, затрачиваемое на 1 круг гонщиками A, B и C соответственно. Тогда на 3 круга гонщик A затрачивает 3tA минут, что на 1 минуту больше, чем требуется гонщику B на 2 круга, поэтому 3tA  1 = 2tB  (1). Аналогично получаем 4tB  1 = 3tC  (2). На прохождение расстояния, которое гонщик A пройдет в 3 минуты, гонщику C потребуется минут, поэтому время, которое гонщик C был в пути до того, как A его вторично обогнал равно . Имеем: . Решая систему уравнений (1)  (3), и учитывая, что tA > 2, находим: tA = 3.

Задача 2:

Над планетой, имеющей форму шара, летают три спутника. Докажите, что в любой момент времени на поверхности планеты имеется точка, из которой ни один из спутников не виден. Спутники считаются точечными.

Проведём плоскость через 3 точки  спутника, и восстановим к ней перпендикуляр из центра планеты. Пусть он пересекает поверхность планеты в точках A и B, а проведённую плоскость в точке C. Тогда если AC ≥ BC, то из точки A не видна вся проведённая плоскость, а поэтому и все спутники. Если же AC < BC, то таким свойством обладает точка B.

Задача 3: Докажите, что уравнение m!  n! = k! имеет бесконечно много решений таких, что n, m и k  натуральные числа, большие 1.

Решение: Для любого натурального числа a > 2 тройка n = a, m = a!  1, k = a! является решением.

Задача 4:

Изобразите на плоскости AOB множество пар (a;b), таких что ситема уравнений

а) имеет ровно 8 решений;

б) имеет ровно 7 решений;

в) не имеет решений;

Решение: На плоскости XOY множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы,  есть граница квадрата с диагоналями, лежащими на осях координат, а второе уравнение задаёт окружность радиуса |b| с центром в точке (a;0). Ввиду очевидной симметрии в дальнейшем мы будем рассматривать только случай a, b ≥ 0.

а) Окружность и граница квадрата имеют восемь общих точек тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности до каждого из углов квадрата больше радиуса, а до любой стороны  меньше радиуса (см. рис.5а.). Это выполняется при условии: . Искомое множество приведено на рис. 5б.

б) Так как число решений нечётно, ровно одна из точек пересечения лежит на оси OX, и это может быть (при a > 0) только точка (1;0). Имеем: b = 1  a. Кроме того, расстояние от центра окружности до каждой из сторон квадрата не превосходит радиуса, откуда (см. рис. а). Ещё заметим, что при a = 0 решений нет, так как в этом случае точки (  1;0) и (1;0) удовлетворяют или не удовлетворяют системе одновременно. Ответ приведён на рис. б.

в) Система не будет иметь решений в случаях, изображённых на рисунках а-г. Соответствующие ограничения написаны под рисунками, а искомое множество изображено на рис д.

http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.96-97.zaochn.10klass&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW