Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Областной тур. 7 класс. 2-й день (с решениями)

Задача 4: Натуральные числа от 1 до 100 разбиты на два набора по 50 чисел. Один набор выписан вдоль верхней стороны таблицы 50 × 50, а другой  вдоль левой стороны. В клетки таблицы записаны суммы соответствующих чисел из наборов ("таблица сложения"). Могут ли все эти суммы оказаться различными?

(О.Подлипский)

Решение:

Всего чисел в таблице 2500, а числа эти могут принимать значения от 3 до 199, то есть всего 197 различных значений. Следовательно, в таблице всегда найдутся одинаковые числа.

Задача 5: Будут ли равны два треугольника если угол, прилежащая к нему сторона и разность двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей стороне и разности двух других сторон другого треугольника?

Решение:

Вообще говоря, нет. Пример: в треугольнике ABD стороны AB и AD равны соответственно 1 и 2 см, угол  ∠ BAD равен 60. Точка C лежит на середине стороны AD (см рис.19). Тогда у треугольников ABD и BCD сторона BD и угол  ∠ BDA общие, стороны AB и BC равные (так как треугольник ABC равносторонний), но сами треугольники не равны.

Заметим, однако, что если для треугольников ABC и A1B1C1 выполнены соотношения AC = A1C1,  ∠ A =  ∠ A1, и AB  BC = A1B1  B1C1 (а не AB  BC = B1C1  A1B1), то треугольники равны. Докажем это. Найдём на сторонах AB и A1B1 точки D и D1 так, чтобы BD = BC, и B1D1 = B1C1 (см. рис.20). Тогда AD = AB  BC = A1B1  B1C1 = A1D1, треугольники ADC и A1D1C1 равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, DC = D1C1, и  ∠ ADC =  ∠ A1D1C1 (откуда равны также углы  ∠ BDC и  ∠ B1D1C1). Тогда равны треугольники BDC и B1D1C1  они равнобедренные, у них равны основания и углы при основании. Отсюда BD = B1D1, BC = B1C1, AB = A1B1, и  ∆ ABC =  ∆ A1B1C1 по трём сторонам.

Задача 6: Незнайка перемножил два двузначных числа, а затем заменил в примере одинаковые цифры на одинаковые буквы, а разные  на разные. У него получилось: АБ  ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что Незнайка где-то ошибся.

Решение:

Число ДДЕЕ делится на 11 (ДДЕЕ = 1000Д + 100Д + 10Е + Е = 11(100Д + Е)), значит, на 11 делится одно из чисел АБ или ВГ. Но двузначное число делится на 11 только тогда, когда цифра десятков равна цифре единиц. Значит, Незнайка ошибся.

http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.97-98.oblast.7klass.day2&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW