Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_347275baphvugoribefvtnk8b5, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_347275baphvugoribefvtnk8b5, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Областной тур. 8 класс. 1-й день (с решениями)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Областной тур. 8 класс. 1-й день (с решениями)

Задача 1: В полдень из пункта А в пункт Б выехал Москвич. Одновременно из Б в А по той же дороге выехали Жигули. Через час Москвич находился на полпути от А до Жигулей. Когда он окажется на полпути от Жигулей до Б? (Скорости автомобилей постоянны).

(С.Токарев)

Решение: Пусть S  расстояние между пунктами A и Б,   скоростьМосквича",   скоростьЖигулей", t  время от начала движения, когдаМосквич" окажется на полпути от "Жигулей" до B, x  расстояние междуМосквичом" и пунктом Б через t от начала движения.

Тогда через час от начала движения

.

Через t от начала движения

,

.

Откуда , а значит t = 2.

Задача 2: На гранях куба написаны натуральные числа, а в каждой вершине  произведение чисел на трёх гранях с этой вершиной. Найдите сумму чисел на гранях, если сумма в вершинах равна 70.

(А.Шаповалов)

Решение: Пусть n1, n2, n3, n4, n5, n6  числа на гранях куба. Тогда n5(n1n4 + n1n2 + n2n3 + n3n4) + n6(n1n4 + n1n2 + n2n3 + n3n4) = (n5 + n6)(n1(n4 + n2) + n3(n2 + n4)) = (n5 + n6)(n4 + n2)(n1 + n3) = 70 = 7  5  2  1. Так как числа натуральные, то ni + nj > 1, и, следовательно, (n5 + n6) + (n4 + n2) + (n1 + n3) = 7 + 5 + 2 = 14.

Задача 3: На стороне BC треугольника ABC выбрана точка F. Оказалось, что отрезок AF пересекает медиану BD в точке E так, что AE = BC. Докажите, что BF = FE.

(М.Сонкин)

Решение: На продолжении медианы BD отложим DE1 = DE (см. рис.14). Тогда  ∆ ADE =  ∆ CDE1 по I признаку равенства треугольников (AD = DC, DE1 = DE,  ∠ ADE =  ∠ CDE1 как вертикальные). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и соответствующих сторон:  ∠ AED =  ∠ DE1C, E1C = AE = BC. Значит  ∆ BCE1  равнобедренный, и  ∠ DE1C =  ∠ EBC.  ∠ AED =  ∠ BEF, как вертикальные, то  ∠ EBF =  ∠ BEF, и  ∆ BFE  равнобедренный.

Задача 4: Барон Мюнгхаузен покупает перчатки первого, второго и третьего размеров. В магазине имеется 300 перчаток  по 100 штук каждого из указанных размеров. Правых и левых перчаток поровну, то есть, по 150 штук. Барон утверждает, что он может выбрать по меньшей мере 50 пар перчаток (в каждой паре  левая и правая перчатки одного размера), хотя продавец возражает против этого. Прав ли барон?

Решение: Обозначим соответственно через x1, x2,  левые и правые перчатки I сорта, через y1, y2  левые и правые перчатки II сорта и через z1, z2  левые и правые перчатки III сорта. Пусть x = minx1,x2, y = miny1,y2, z = minz1,z2.

Барон утверждает, что x + y + z ≥ 50.

Если хотя бы одно из чисел x1, y1 и z1 равно 50, то утверждение барона справедливо.

Если все числа x1, y1 и z1 отличны от 50, тогда из условия x1 + y1 + z1 = 150 следует, что x1, y1 и z1 не могут быть одновременно больше 50 и не могут быть одновременно меньше 50. Без ограничения общности будем считать, чтоx1 < 50, y1 < 50иz1 > 50 (в противном случае можно будет провести аналогичные рассуждения относительно x2, y2 и z2). Тогда x = x1, y = y1, z = z2 и x + y + z = (x1 + y1) + z2 = (150  z1) + (100  z1) = 250  2z1. Если x + y + z < 50, то 250  2z1 < 50, и z1 > 100. Противоречие. Следовательно, x + y + z ≥ 50, значит, барон прав.

http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.97-98.oblast.8klass.day1&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW