Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Областной тур. 8 класс. 2-й день (с решениями)

Задача 5: Найдутся ли какие-нибудь 4 натуральных числа таких, чтобы среди наибольших общих делителей пар встретились 6 последовательных чисел?

(А.Шаповалов)

Решение:

Пусть найдутся 4 натуральных числа, удовлетворяющих условию. Так как из 6 последовательных чисел ровно 2 делятся на 3 (*), то найдутся 2 различные пары (a,b) и (c,d) такие, что наибольший общий делитель каждой пары делится на 3. Если все числа составляющие эти 2 пары различные, то тогда наибольший общий делитель каждой из 6 пар делится на 3. Противоречие с (*). Если у этих 2 пар совпадают два числа (допустим a = c), то тогда мы можем указать еще одну пару (b,d), отличную от исходных двух, наибольший общий делитель которой делится на 3. Противоречие с (*).

Задача 6: Проверьте следующее равенство:

Решение:

Преобразуем левую часть равенства

Преобразуем правую часть равенства

Так как левая часть равенства равна правой, то равенство справедливо.

Задача 7: В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1. Докажите, что если длины перпендикуляров, опущенных из вершины B на прямые AA1 и CC1 равны, то треугольник ABC  равнобедренный.

(Н.Агаханов)

Решение:

Пусть F и K точки пересечения перпендикуляров, опущенных из вершины B на прямые AA1 и CC1 соответственно, а O  точка пересечения биссектрис  ∆ ABC (см. рис.21).

1)  ∆ OKB =  ∆ OFB (по катету и гипотенузе: BK = BF, OB  общая). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:  ∠ KOB =  ∠ FOB.

2)  ∆ OBC1 =  ∆ OBA1 по II признаку равенства треугольников (OB  общая,  ∠ OBC1 =  ∠ OBA1, так как OB  биссектриса  ∆ ABC,  ∠ KOB =  ∠ FOB) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OC1 = OA1.

3)  ∆ OAC1 =  ∆ OCA1 по II признаку равенства треугольников (OC1 = OA1,  ∠ C1OA =  ∠ A1OC как вертикальные,  ∠ AC1O =  ∠ CA1O как смежные углы к равным углам равных треугольников  ∆ OBC1 и  ∆ OBA1) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:  ∠ OAC1 =  ∠ OCA1. Но  ∠ OAC1 = ½ ∠ A,  ∠ OCA1 = ½ ∠ C, откуда  ∠ A =  ∠ C, а значит  ∆ ABC  равнобедренный.

Задача 8: Прожектор освещает развёрнутый угол (180). Можно ли расположить 19 прожекторов так, чтобы никакие 3 из них не находились на одной прямой и каждый прожектор освещал бы только один другой прожектор?

(Т.Емельянова)

Решение:

Можно. Например, сначала расположить все прожекторы на окружности в точках P1,P2,  P19, так, чтобы все дуги были равны PiPi + 1 = 2 π /19 и так, чтобы развернутый угол, который освещает каждый прожектор, был перпендикулярен радиусу окружности в точке Pi и не освещал окружность. Затем каждый развернутый угол в точке Pi повернуть по часовой стрелке так, чтобы луч из Pi проходил через середину дуги Pi + 1Pi + 2.

http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.97-98.oblast.8klass.day2&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW