Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_8t16tmo2vdtv99tuuporp2j786, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_8t16tmo2vdtv99tuuporp2j786, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Областной тур. 9 класс. 2-й день (с решениями)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Областной тур. 9 класс. 2-й день (с решениями)

Задача 5: Три коэффициента a, b, c и два корня x1, x2 квадратного трёхчлена ax² + bx + c, выписанные в некотором порядке, образуют ряд из 5 последовательных целых чисел. Найдите все такие трёхчлены.

(А.Шаповалов)

Решение:

По теореме Виета c = ax1x2, b =   a(x1 + x2). Предположим, что среди рассматриваемых чисел нет нуля, и m  наименьший из модулей этих чисел. Тогда |c| = |a|  |x1|  |x2| ≥ 1  2  3 = 6. Отсюда m ≥ 2, но |c| > m³, значит разность между c и наименьшим по модулю числом больше 4  противоречие. Итак, среди чисел есть 0. Так как двух нулей быть не может, из равенства c = ax1x2 находим, что b = 0. Тогда сумма корней  0, разность не больше 4, то есть корни либо 1 и -1, либо 2 и -2. В первом случае a =   c, и так как a и c соседние с 1 или -1, получаем ответы: 2x²  2 и   2x² + 2. Во втором случае c =   4a, и разница между a и c больше 4, что невозможно.

ОТВЕТ: 2x²  2 и   2x² + 2.

Задача 6: Известно, что уравнение x³ + y³ = z³ не имеет решений в натуральных числах. Найдите все решения в натуральных числах уравнения 6x² + 2 = z³.

Решение:

Запишем уравнение в виде (x + 1)³  (x  1)³ = z³, откуда (x + 1)³ = (x  1)³ + z³. В натуральных числах x + 1,x  1 и z это уравнение решений не имеет (это дано в условии). Так как и z и x (а значит, и x + 1) должны быть натуральными, единственно возможный случай x  1 = 0, то есть x = 1. Тогда z = 2.

ОТВЕТ: единственная пара x = 1, z = 2.

Задача 7: В треугольнике ABC, вписанном в окружность, AB < AC. На стороне AC отмечена точка D так, что AD = AB. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку DC делит пополам дугу BC, не содержащую точки A.

(М.Сонкин)

Решение:

Продолжим сторону BD до пересечения с описанной окружностью в точке E (см. рис.22). Треугольники ABD и CDE подобны (углы  ∠ ABD и  ∠ DCE равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AE, а углы BDA и CDE равны, как вертикальные). Тогда DE = EC, а следовательно серединный перпендикуляр к отрезку DC является и биссектрисой угла E, поэтому делит дугу BC пополам.

Задача 8: Найдите наибольшее число l такое, что при любой раскраске единичного квадрата в 2 цвета внутри него найдётся отрезок с одноцветными вершинами длины не меньше, чем l.

(Л.Емельянов)

Решение:

Покажем сначала, что при любой раскраске единичного квадрата в два цвета найдутся две одноцветные точки, расстояние между которыми не меньше . Предположим, что при некоторой раскраске таких точек нет. Возьмём вершины A,B,D и середины E и F сторон BC и DC соответственно (см.рис.23). Тогда точки E и F окрашены в другой цвет, чем вершина A, точки B и F (как и точки D и E) окрашены в разные цвета, поэтому цвет вершин B и D совпадает с цветом вершины A. Но   противоречие.

Покажем теперь как покрасить квадрат в два цвета, чтобы не было одноцветных точек на расстоянии меньшем, чем . Проведём в квадрате среднюю линию и раскрасим получившиеся два прямоугольника каждый в свой цвет (точки средней линии при этом можно раскрасить произвольным образом). Любые одноцветные точки при этом лежат в одном из прямоугольников, а значит расстояние между ними не превосходит диагонали прямоугольника, равной .

http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.97-98.oblast.9klass.day2&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW