Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Областной тур. 11 класс. 2-й день (с решениями)

Задача 5: При каких n существует многочлен Pn(x) = xn + a1xn  1 +    + an  1x + an с действительными коэффициентами такой, что при всех x ∈ R Pn(x) >   3 и Pn(  2) = Pn(0) = Pn(2) = 0?

(Н.Агаханов)

Решение:

Пусть многочлен Pn(x) = xn + a1xn  1 +    + an  1x + an удовлетворяет условиям задачи. Тогда он имеет по крайней мере 3 корня, поэтому n > 2. Если n нечётно, то при x →    ∞  Pn(x) →    ∞ , следовательно, условие Pn(x) >   3 при всех x ∈ R не выполнено. Итак, n четно. Пусть n = 4, тогда Pn(x) = x4 + a1x³ + a2x² + a3x + a4. Подставляя значения x = 0 и x =   2, получаем: a4 = 0,16  8a1 + 4a2  2a3 = 0, откуда a2 =   4,a3 =   4a1, то есть Pn(x) = x4 + a1x³  4x²  4a1x. Так как Pn(1) >   3 имеем 1 + a1  4  4a1 >   3, или a1 < 0. Так как Pn(  1) >   3 имеем 1  a1  4 + 4a1 >   3, или a1 > 0. Противоречие, показывающее, что n ≠ 4. Пусть n = 4 + 2k, где k  натуральное число. Тогда многочлен Pn(x) = (x  2)²(x + 2)²x2k удовлетворяет, очевидно, всем условиям задачи.

ОТВЕТ: при всех четных n, больших 5.

Задача 6: Существуют ли 1998 нецелых рациональных чисел, произведение любых двух из которых  целое число?

(А.Малистов, А.Белов)

Решение:

Да, существуют. Выберем различные простые числа pi (1 ≤ i ≤ 1998) и положим для всех i. Все они не целые (числитель на знаменатель не делится), а произведение любых двух xi  xj  произведение квадратов выбранных простых чисел, кроме pi и pj, то есть целое число.

Задача 7: В пространстве расположены четыре попарно скрещивающиеся прямые. Докажите, что найдётся полуплоскость, границей которой является одна из этих прямых, не пересекающаяся с остальными тремя прямыми.

(Р.Карасёв)

Решение:

Обозначим прямые l1, l2, l3 и l4. Если все они параллельны некоторой плоскости  α , то достаточно взять так, что l1 и в качестве полуплоскости одну из полуплоскостей, на которые l1 делит . Иначе найдутся три прямые (без ограничения общности l1,l2 и l3), которые не параллельны одной плоскости. Пусть  α 12  плоскость, параллельная l1 и l2 и такая, что l1 и l2 лежат от неё по разные стороны. Аналогично определим плоскости  α 13 и  α 23. Обозначим X1 двугранный угол, который ограничен  α 12, α 13 и содержит l1. Аналогично определим X2 и X3. Заметим, что X1 и X2 не пересекаются (они содержат l1 и l2, лежащие по разные стороны от  α 12). Аналогично не пересекаются любые два из углов X1,X2 и X3.

Рассмотрим угол X1. Так как l2 и l3 не пересекают его, а l1 в нём содержится, то любая полуплоскость с краем l1, лежащая в этом угле, не пересекает l2 и l3. Что же касается l4, то она может помешать проведению полуплоскости через l1 в угле X1 только если она пересекает X1 по отрезку. Аналогично, рассуждая от противного, l4 пересекает X2 и X3 по отрезкам, но это значит, что три плоскости  α 12,  α 13 и  α 23 высекают на прямой l4 три отрезка, что невозможно (три точки разделяют прямую на 2 отрезка и 2 луча). Противоречие, показывающее, что требуемую полуплоскость через какую-то из прямых l1,l2,l3 провести можно.

Задача 8: Поле для игры в бильярд имеет размеры m × n дюймов (m,n  натуральные числа). Разрешается установить шар в любую точку поля, отстоящую от бортов на целое число дюймов, и нанести по нему удар под углом 45 к любому из бортов. Угол падения равен углу отражения; при попадании в угол поля шар отскакивает в противоположном направлении. Сколько различных траекторий может получиться в зависимости от m и n?

Решение:

ОТВЕТ: (n,m) + 1 траекторий, где (n,m)  наибольший общий делитель чисел m и n.

1 способ. Назовём траектории, проходящие через угол поля, траекториями первого типа, а остальные  траекториями второго типа. Так как каждая траектория либо не проходит через углы, либо проходит ровно через два угла, то существует ровно 2 траектории первого типа. Выпустим шар из произвольной точки поля и засечём момент, когда он впервые вернётся в исходную точку, а направление его скорости совпадёт с первоначальным. Тогда если шар двигался по траектории первого типа, он прошёл её дважды (туда и обратно), а если по траектории второго типа  то ровно один раз.

Найдём длину пути, пройденного шаром. Для этого рассмотрим движение шара в проекции на борт поля, длина которого m дюймов. Очевидно, что в этой проекции шар совершает возвратно-поступательные движения с амплитудой m. Чтобы шар оказался в первоначальной точке с первоначально направленной скоростью, он должен полностью пройти путь туда  обратно целое число раз, скажем, k. Тогда длина пройденного шаром пути в проекции равна km, а реально путь шара равен . Аналогично рассмотрим движение шара в проекции на другой борт. Получим, что путь шара равен для некоторого натурального t. Так как S одно и то же, имеем уравнение в натуральных числах tn = km, причём числа t и k  наименьшие, удовлетворяющие такому уравнению (так как шар впервые вернулся в исходную точку с начальной скоростью). Тогда tn  наименьшее общее кратное чисел n и m (обозначим его НОК), и оно не зависит от начального положения шара, то есть длина любой траектории второго типа равна S.

Пусть траекторий второго типа x, тогда суммарная длина всех траекторий равна . С другой стороны, в каждойединичной" клеточке поля проходят ровно 2 участка траекторий длины каждый, поэтому суммарная длина траекторий равна .

Имеем уравнение: , откуда (здесь (n,m)  наибольший общий делитель чисел n и m). Тогда общее число траекторий равно x + 2 = (n,m) + 1.

2 способ.

1) На квадратном поле n × n любая траектория  суть либо дважды пройденная диагональ, либо прямоугольник со сторонами, параллельными диагоналям поля (см.рис.25). Таким образом, число траекторий на таком поле равно n + 1.

2) Пусть поле имеет размеры m × n, где m > n. Покажем, что если от него отделить квадратный кусок n × n, то количество траекторий на укороченном поле не изменится. Проведём на поле прямую, отделяющую от него квадрат n × n, и рассмотрим произвольную траекторию. Если эта траектория пересекает проведённую линию во внутренней точке, скажем, в M (см. рис. 26, траектория I), то далее шар движется по границе некоторого прямоугольника (см. пункт 1) и возвращается в M. Если же траектория проходит через точку пересечения проведённой прямой с одним из бортов (траектория II), то шар попадает в угол поля и затем возвращается по той же самой траектории. В обоих случаях шар ведёт себя так, как если бы вместо проведённой прямой был жёсткий барьер (борт поля). Таким образом, каждой траектории на поле m × n соответствует траектория на поле (m  n) × n (получаемая путём отсечения части изначальной траектории, которая лежит в квадрате n × n), и наоборот. Утверждение доказано.

3) В силу доказанного в пункте 2, если m = kn + t, где 1 ≤ t ≤ n, число траекторий на полях размера m × n и n × t одно и то же. Повторяя эту операцию несколько раз, придём к квадратному полю размера d × d, где d  наибольший общий делитель чисел m и n. По первому пункту, число траекторий на таком поле d + 1.

Замечание. По сути дела в пункте 3 осуществлён алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя чисел m и n.

http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.97-98.oblast.11klass.day2&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW