Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Районный тур. 9 класс (с решениями)

Задача 1: В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол  ∠ ABD равен углу  ∠ ACD.

Доказать, что ABCD  равнобедренная трапеция.

Решение:

Из равенства углов  ∠ ABD и  ∠ ACD следует, что точки A,B,C,D лежат на одной окружности. Из параллельности хорд BC и AD следует равенство дуг и . Поскольку равные дуги стягивают и равные хорды, то AB = CD.

Задача 2: Решить в целых числах уравнение 2n + 7 = m².

Решение:

Так как m  целое число, то 2n = m²  7  целое число. Поэтому n ≥ 0.

При n = 0 уравнение m² = 8 не имеет решений в целых числах. При n = 1 имеем 9 = m², и m = 3. Если n ≥ 2, то, переписывая уравнение в виде 2n + 6 = m²  1, видим, что правая часть делится на 4 (так как m нечётно), а левая на четыре не делится. Поэтому при n ≥ 2 решений в целых числах нет. Ответ: n = 1, m = 3.

Задача 3: По кругу сидят рыцари и лжецы  всего 12 человек. Каждый из них сделал заявление: Все кроме, быть может, меня и моих соседей  лжецы". Сколько рыцарей сидит за столом, если известно, что лжецы всегда врут, а рыцари всегда говорят правду?

Решение:

Все не могут быть лжецами  тогда все заявления были бы истинными. Значит, есть рыцарь. Все, кроме, быть может, его двух соседей  лжецы. Оба соседа не могут быть лжецами  тогда они сказали бы правду; оба не могут быть рыцарями  тогда бы они солгали. Единственная оставшаяся возможность  один сосед  лжец, другой  рыцарь (то есть два рыцаря рядом, остальные  лжецы) удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: 2 рыцаря.

Задача 4: Пусть 0, < ,a, < ,b, < ,c, < ,d.

Докажите, что уравнения x4 + bx + c = 0 и x4 + ax + d = 0 не имеют общих корней.

Решение:

Допустим, что у этих уравнений есть общий корень x0. Вычитая из равенства равенство , получим (b  a)x0 = d  c. По условию d  c > 0, и b  a > 0, значит, и x0 > 0. Но положительное число не может быть корнем многочлена, все коэффициенты которого положительны.

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.97-98.rayon.9klass&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW