Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_iq53hmnjrmluq99muigh7jqg84, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_iq53hmnjrmluq99muigh7jqg84, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Районный тур. 11 класс (с решениями)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Районный тур. 11 класс (с решениями)

Задача 1: В прямоугольник вписан четырехугольник (по вершине на каждой стороне).

Доказать, что его периметр не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.

Решение:

Пусть четырехугольник EFGH вписан в прямоугольник ABCD (см. рисунок). Продолжим сторону AD и отложим на ней точки H1 и H2 так, что HD = DH1, и HA = AH2 (см.рис.4). Тогда HG = GH1 (т.к.  ∆ HGD =  ∆ H1GD), и HE = H2E (т.к.  ∆ HEA =  ∆ H2EA). Пусть p  периметр четырехугольника EFGH. Тогда

Оценим FH1 + FH2. Проведем через точку H1 прямую, перпендикулярную к AD и отложим на ней точки O и H3 так, что H1O = OH3 = AB. Тогда FH3 = FH1 (т.к.  ∆ H1FO =  ∆ H3FO). Следовательно, p ≥ FH1 + FH2 = H2F + FH3 ≥ H2H3. Но H1H2 = 2AD, H1H3 = 2AB. Следовательно, H2H3 = 2AC (из подобия треугольников  ∆ ACD и  ∆ H2H3H1), и тогда p ≥ 2AC. Этим все доказано.

Задача 2: Пусть положительные числа a,,b,,c,,d удовлетворяют неравенствам: a ≤ b ≤ c ≤ d, и a + b + c + d ≥ 1. Доказать, что a² + 3b² + 5c² + 7d² ≥ 1.

Решение:

Так как числа положительны, то 3b² ≥ b² + 2ab, 5c² ≥ c² + 2ac + 2bc, 7d² ≥ d² + 2ad + 2bd + 2cd, и a² ≥ a².

Складываем эти неравенства и получаем a² + 3b² + 5c² + 7d² ≥ a² + b² + c² + d² +   + 2ab + 2ac + 2bc + 2ad + 2bd + 2cd = (a + b + c + d)² ≥ 1.

Задача 3: Поле для игры вморской бой" имеет форму квадрата размером 8 × 8 клеток. На нем стоит один корабль, имеющий форму прямоугольника 1 × 4. В клетках поля можно устанавливать детекторы, показывающие, накрывает ли корабль эту клетку.

Какое наименьшее число клеток нужно снабдить такими детекторами, чтобы по их показаниям можно было однозначно определить положение корабля?

Решение:

На каждой горизонтали из восьми клеток установлено не меньше четырех детекторов, иначе в какой-то из пар клеток, отмеченных на рисунке 5а одинаковым номером (скажем, 3) нет детекторов, и тогда положение 3 4 1 2 неотличимо от 4 1 2 3. Поэтому на доске не меньше 32 детекторов. На рис.5б показано, как обойтись ровно тридцатью двумя.

Задача 4: На доске выписаны 17 двузначных чисел. Математик возвел одно из них в сотую степень. Оказалось, что полученное число делится на любое из выписанных.

Докажите, что тогда оно делится и на произведение всех выписанных чисел.

Решение:

Пусть математик возвел в сотую степень число a. Достаточно доказать, что a99 делится на произведение оставшихся чисел  обозначим его через Q. Разложим Q на простые множители. Допустим, что простое число p входит в разложение Q в степени n. Тогда какое-то из оставшихся чисел b делится на p. a¹ºº делится на b, значит, a делится на p. Двузначное число может делится не более, чем на шестую степень простого числа (так как p² ≥ 27 = 128), поэтому произведение 16 двузначных чисел делится не более, чем на p96. В то же время a99 делится на p99. Поскольку это верно для любого простого p, то a99 делится на Q.

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.97-98.rayon.11klass&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW