Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Заочный тур. 9 класс (с решениями)

Задача 1: Решить уравнение

где [A]  целая часть числа A, то есть наибольшее целое число, не превосходящее A.

Решение:

Обозначим . Тогда , и уравнение после преобразований получает вид . Отсюда , и поэтому   1 < 30m ≤ 39. C учётом того, что m ∈ Z, получаем 2 решения: m = 0 и m = 1. Подставляя их в формулу , находим два решения задачи: и .

Ответ: , .

Задача 2: Число A вида 100  01 кратно 19.

Докажите, что A кратно 13.

Решение:

Заметим, что числа вида 10l  1 (l = 1,,2,,  ,,8) не делятся на 19, и 109 + 1 = 19  52631579  наименьшее целое число такого вида, делящееся на 19. Пусть n = 9k + l,(k ∈ N, l = 1,,2,,  ,,8). Имеем

где M  натуральное число. Число A делится на 19 тогда и только тогда, когда l = 0, и k  нечётное число. То есть числа вида A = 109(2r + 1) + 1, (r = 0,,1,,2,,  ) и только они (среди чисел вида 10l + 1) делятся на 19. Из равенства (*) имеем: A = 109(2r + 1) + 1 = (109 + 1)  M. Остаётся заметить, что число 109 + 1 = 13  76923077 делится и на 13.

Задача 3: Треугольники  ∆ ABC и  ∆ OBC оба равносторонние. Точка M лежит на окружности с центром O и радиусом OB.

Докажите, что MB² + MC² = MA².

Решение:

Проведём дополнительное построение (см. рис.11.) Пусть TF = 2R  диаметр, и  ∠ TOM =  α . Из  ∆ MBO: , из  ∆ MCO: . По теореме косинусов из  ∆ MAO получим: . Для решения задачи остаётся проверить равенство MB² + MC² = MA², которое равносильно тождеству

Используя формулу , левую часть равенства приведём к виду , которая, очевидно, при любом  α  равна правой.

Задача 4: Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если n  хорошее, то и число n + 6  хорошее, а если число m  плохое, то и число m + 15  плохое.

Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?

Решение:

Докажем методом от противного два утверждения:

1) если число k  хорошее, то число k + 3 также хорошее,

2) если число k  плохое, то число k + 3 также плохое.

В первом случае, пусть число k  хорошее, а число k + 3  плохое. Тогда число k + 18 одновременно должно быть и хорошим, и плохим  противоречие.

Во втором случае если число k  плохое, а число k + 3  хорошее, то число k + 15 одновременно является и хорошим, и плохим, чего быть не может.

Из доказанных утверждений следует, что в каждой тройке чисел вида 3k + 1, 3k + 2 и 3k + 3, (k = 0,,1,,  ) одно и то же количество хороших чисел, а значит среди первых 2000 чисел натурального ряда не может быть ровно 1000 хороших чисел.

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.97-98.zaochn.9klass&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW