Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Заочный тур. 10 класс (с решениями)

Задача 1: Решить уравнение:

Решение:

Пусть x² + x + 1 = t. Тогда t² = x²(t + 2x²), откуда t1 = 2x²,t2 =   x². Уравнение 2x² + x + 1 = 0 решений не имеет, а из уравнения x²  x  1 = 0 получаем ответ: .

Ответ: .

Задача 2: Докажите, что среди 18 последовательных трехзначных натуральных чисел найдется хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.

Решение:

Среди трёхзначных чисел, делящихся на 9, только у числа 999 сумма цифр 27 (заметим, что 999 нечётное), а у остальных чисел указанного вида сумма цифр 9 или 18 (по признаку деления на 9). Рассмотрим 18 последовательных трёхзначных натуральных чисел. Среди них ровно 2 делятся на 9. Обозначим их k и k + 9. Выберем из них чётное (такое, очевидно, найдётся), тогда оно делится и на 9, и на 18, то есть на сумму своих цифр. Утверждение, сформулированное в задаче доказано.

Задача 3: В выпуклый четырехугольник вписан параллелограмм, вершины которого делят стороны четырехугольника в постоянном отношении 1:4 (считая по часовой стрелке).

Докажите, что исходный четырехугольник  тоже параллелограмм.

Решение:

Рассмотрим векторы и пусть E,,F,,G,,H  точки на сторонах четырёхугольника ABCD, указанного в условии (см.рис.12). Имеем:

где , , , . Решая систему, получаем . Следовательно, ABCD  параллелограмм.

Задача 4: Управдом Остап Бендер собрал с жильцов дома деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич заинтересовался, почему у них в третьем подъезде надо собрать денег на 20 процентов больше, чем во втором, хотя квартир во всех подъездах поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что за двузначные номера приходится платить вдвое, а за трехзначные  втрое больше, чем за однозначные.

Сколько квартир в подъезде?

Решение:

Пусть x  число квартир в подъезде, а однозначный номер стоит s рублей. Поскольку в доме есть трёхзначные номера (они упомянуты) и нет четырёхзначных (они не упомянуты), то число 3x  трёхзначно, поэтому x  двузначно. Рассмотрим два случая:

1) Пусть число 2x  двузначно. Тогда во втором подъезде все номера двузначны, поэтому собрано 2xs руб. В третьем подъезде (99  2x) двузначных номеров и 3x  99 трёхзначных, поэтому в нём собрано 2s(99  2x) + 3s(3x  99) руб. По условию 1,2  2sx = 2s(99  2x) + 3s(3x  99), откуда 2,4x = 5x  99 и x  не целое.

2) Пусть число 2x  трёхзначно. Тогда во втором подъезде (99  2x) двузначных и (3x  99) трёхзначных номеров, а в третьем  x трёхзначных номеров, откуда 1,2(4x     99) = 3x, и x = 66. Проверка показывает, что 2x и 3x действительно трёхзначны.

Ответ: 66 квартир.

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.97-98.zaochn.10klass&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW