Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Заочный тур. 11 класс (с решениями)

Задача 1: Найти многочлен P(x) = x³ + ax² + bx + c такой, что для всех x ∈ [0;½].

Решение:

Подойдет, например, многочлен P(x) = x³ + x² + x. В самом деле, . При 0 ≤ x ≤ ½ функции x4 и неотрицательны, монотонно возрастают, поэтому функция также монотонно возрастает. Для всех x ∈ [0;½] тогда имеем: , что и требуется.

Задача 2: Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр. Доказать, что

а) сумма цифр чисел 2M и 2K одинакова;

б) сумма цифр чисел 5M и 5K одинакова.

Решение:

Обозначим через S(A) сумму цифр числа A. Пусть , (числа 2ai и 5ai, очевидно, двузначные или однозначные). Заметим, что bi ≤ 1, ci  1 ≤ 8, поэтому bi + ci  1 ≤ 9. Кроме того, ki ≤ 4, pi  1  либо 0, либо 5, поэтому ki + pi  1 ≤ 9. Тогда 2M = 2(10nan + 10n  1an  1 +    + 10a1 + a0) = 10n(10bn +   + cn) + 10n  1(10bn  1 + cn  1) +    + 10(10b1 + c1) + 10b0 + c0 = 10n + 1bn + 10n(bn  1 + cn) +    +   + 10(b0 + c1) + c0, причем bn,(bn  1 + cn),  (b0 + c1),c0 цифры числа 2M. Тогда S(2M) = bn + (bn  1 + cn) +    + (b0 + c1) + c0 = (bn + cn) + (bn  1 + cn  1) +    + (b1 + c1) + (b0 + c0) = S(2an) + S(2an  1) +    + S(2a0). Аналогично, 5M = 10n + 1kn + 10n(kn  1 + pn) +    +   + 10(k0 + p1) + p0, S(5M) = S(5an) + S(5an  1) +    + S(5a0). Очевидно, и S(2M), и S(5M) не зависит от порядка цифр ai в числе M, поэтому S(2M) = S(2K), и S(5M) = S(5K).

Задача 3: Каково наибольшее возможное число вершин многоугольника, все стороны которого лежат на 6 прямых?

Решение:

Пример такого 12-угольника приведен на рис.13. Покажем, что требуемого многоугольника с большим числом вершин не существует. Предположим противное. Тогда, так как в многоугольнике число сторон равно числу вершин, найдется прямая, скажем l, содержащая не менее трех сторон многоугольника, а значит, не менее шести его вершин. Но остальные 5 прямых могут давать в пересечении с l не более пяти точек, поэтому на l лежит не более пяти вершин многоугольника  противоречие.

Задача 4: Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

Решение:

Такие треугольники существуют. Мы построим даже бесконечное семейство треугольников T1,T2,T3  , ни один из которых не покрывается остальными. Пусть все треугольники Ti равнобедренные с основанием ai = 10i площади Si = (⅓)i. Построенное семейство искомое. В самом деле, пусть некоторый треугольник семейства (скажем, Tk) покрыт остальными. Проекция каждого треугольника Tii ≤ k  1 на прямую, содержащую сторону ak, не превосходит наибольшей стороны Ti, т.е. не превосходит 10i, а тогда сумма этих проекций не превосходит . Тогда площадь Tk, покрытая треугольниками T1,T2,T3  ,Tk  1 не превосходит (здесь hk  высота треугольника Tk), значит, оставшиеся покрываются треугольниками Tk + 1,Tk + 2,  . Но это невозможно, так как общая площадь всех этих треугольников равна   противоречие.

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.97-98.zaochn.11klass&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW