Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Областной тур. 7 класс. 2-й день (с решениями)

Задача 1: Незнайка утверждает, что он может отметить на плоскости 15 точек таких, что какое бы натуральное число от 1 до 7 ему ни назвали, он сможет указать прямую, на которой лежит ровно столько отмеченных точек. Прав ли Незнайка?

Решение: Незнайка не прав. В самом деле, пусть ему удалось отметить 15 точек, обладающих указанным свойством, и пусть li (1 э i э 7)  прямая, содержащая ровно i отмеченных Незнайкой точек. Так как все эти прямые различны, то любые 4 из них имеют не более 6 точек попарных пересечений, поэтому на прямых l7, l6, l5 и l4 лежит не менее 7 + 6 + 5 + 4 C 6 = 16 отмеченных точек противоречие.

Задача 2: На поле брани встретились армии Толстых и Тонких по 1000 человек в каждой. Сначала каждый Толстый выстрелил в одного из Тонких. Затем каждый уцелевший Тонкий выстрелил в одного из Толстых. Наконец, каждый уцелевший Толстый ещё раз выстрелил в одного из Тонких. После этого у каждой армии кончились патроны. Докажите, что в живых осталось не менее 500 солдат.

Решение: Пусть Тонкие своим единственным залпом убили n Толстых. Тогда вторым залпом Толстые убьют не более 1000 C n Тонких, поэтому за два последних залпа погибнет не более 1000 солдат с той и другой стороны.

Пусть после первого залпа Толстых в живых осталось x Тонких. Возможны два случая:

1) x э 500. Тогда после залпа Тонких у Толстых останется в живых не менее 1000 C x солдат, что не меньше 500, и утверждение в этом случае доказано.

2) x > 500. Тогда после первого залпа Толстых у двух армий в сумме более 1500 живых солдат. Как показано выше, за два последних залпа не может погибнуть более 1000 человек, что и завершает доказательство.

Задача 3: Через точку плоскости проведены 3 прямые, разбивающие плоскость на 6 углов. Известно, что один из образовавшихся углов не превосходит полусуммы наибольшего и наименьшего угла. Докажите, что этот угол не превосходит 60.

Решение: Обозначим три подряд идущих угла через  а ,  б  и  ц . Оставшиеся три угла также будут соответственно равны  а ,  б  и  ц , как вертикальные. Без ограничения общности, пусть  а  э  б  э  ц . Тогда , откуда  а  +  ц  щ 2 б . Но углы  а , б  и  ц  составляют развёрнутый угол, поэтому  п  =  а  +  б  +  ц  щ 3 б , откуда и следует утверждение задачи.

Задача 4: Можно ли в вершинах и серединах сторон восьмиугольника расставить натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел на концах каждой стороны равнялась числу в её середине.

Решение: Пусть удалось расставить числа так, как это требуется в задаче. Обозначим их через a1, a2,   , a16 двигаясь из какой-нибудь вершины восьмиугольника по часовой стрелке (см. рис.19). Тогда 2a2 = a1 + a3, 2a4 = a3 + a5,   , 2a16 = a15 + a1. Просуммируем 8 полученных равенств и добавим к обеим частям сумму a1 + a3 +    + a15. Получим 3(a1 + a3 +    + a15) = S, где S сумма всех расставленных чисел. Значит, S делится на 3. Но S = 1 + 2 +    + 16 = 136 противоречие.

ОТВЕТ: Расставить числа требуемым образом нельзя.

http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.98-99.oblast.7klass.day2&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW