Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Областной тур. 9 класс. 2-й день (с решениями)

Задача 1: Двое играют в морской бой" по следующим правилам: Первый игрок расставляет на полоске клетчатой бумаги размера 1 × 100 клеток произвольное количество кораблей (возможно, ни одного) размера 1 × 3 клетки (расстояние между любыми различными кораблями не менее 1 клетки). Второй указывает противнику n клеток (0 ≤ n ≤ 100), по которым он одновременно производит выстрелы, после чего про каждую из этих клеток получает сообщение попал" или мимо". Второй игрок выигрывает, если после этого он может однозначно указать количество кораблей противника и их расположение. При каком наименьшем n второй игрок может гарантировать себе выигрыш?

Решение:

ОТВЕТ: n = 50. Занумеруем поля числами от 1 до 100 по порядку. Если указать менее 50 полей, то найдётся 4 идущих подряд поля, среди которых указано не более одного. Без ограничения общности это поля 1, 2, 3 и 4. Теперь если указано поле 1 (аналогично, поле 4), то при ответе промах" на все указанные поля невозможно определить, стоит корабль на полях 2, 3, 4 или нет. Если же указанное поле 2 или 3, то при ответе попал" на это поле и промах" на все остальные поля, нельзя определить как расположен единственный корабль противника: 1 2 3, или 2 3 4.

50 полей достаточно. В самом деле, укажем все поля с нечётными номерами. Тогда при любом ответе расположение флота противника определяется однозначно: если на пару полей n и n + 2 получен ответ попал", то на полях n, n + 1, n + 2 стоит корабль. Если при попадании на поле номер n имеются промахи на полях n  2 и n + 2, то корабль стоит полях n  1, n, n + 1.

Задача 2: Пусть O центр вписанной окружности треугольника ABC. На прямой BC отметим точки A1 и A2, на прямой AC точки B1 и B2, а на прямой AB точки C1 и C2 так, что OA1 = OA2 = OA, OB1 = OB2 = OB, OC1 = OC2 = OC.

Докажите, что A1A2 + B1B2 + C1C2 = AB + BC + AC.

Решение: Пусть P ∈ [AC], K ∈ [AB] и T ∈ [AC] точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника (см. рис.21). Тогда  ∆ AOT =  ∆ A1OP (они прямоугольные, имеют равные катеты OP = OT, и гипотенузы OA = OA1, поэтому AT = A1P. Аналогично, AK = A2P, KB = BP = B1T = B2T, PC = TC = C1K = C2K. Имеем: A1A2 + B1B2 + C1C2 = A1P + PA2 + B1T +   + TB2 + C1K + KC2 = AT + AK + BK + BP +   + PC + CT = (AT + CT) + (AK + KB) +   + (BP + PC) = AC + AB + BC, что и требовалось доказать.

Задача 3: Пусть действительные числа a1, a2, b1, b2, c1, c2 удовлетворяют неравенствам: и . Докажите, что (a1 + a2)(c1 + c2) ≥ (b1 + b2

Решение: Рассмотрим квадратные трёхчлены y1 = a1x² + 2b1x + c1 и y2 = a2x² + 2b2x + c2. Согласно условию их дискриминанты неположительны, поэтому график каждого из них не пересекает ось абсцисс. Кроме того, их старшие коэффициенты имеют один и тот же знак, поэтому оба графика лежат в одной и той же полуплоскости относительно OX. Так как трёхчлен y = (a1 + a2)x² + 2(b1 + b2)x + (c1 + c2) есть сумма многочленов y1 и y2, его график также не пересекает ось абсцисс, т.е. его дискриминант неположителен, что и надо доказать.

Задача 4: Докажите, что выражение 2x + 3y (x, y целые числа) делится на 17 тогда и только тогда, когда делится на 17 выражение 9x + 5y.

Решение: Заметим, что 5(2x + 3y)  3(9x + 5y) =   17x делится на 17, поэтому из деления на 17 числа 2x + 3y следует деление на 17 чисел 5(2x + 3y), 5(2x + 3y) + 17x = 3(9x + 5y) и наконец, 9x + 5y и наоборот.

http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.98-99.oblast.9klass.day2&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW