Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Областной тур. 10 класс. 2-й день (с решениями)

Задача 1: В чемпионате школы по футболу участвуют N команд. Игры проводятся в один круг, за победу команде даётся 3 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. Команда Mатематики" торопилась на олимпиаду по математике, поэтому провела все свои матчи досрочно. После этого команда знала, что независимо от результатов оставшихся матчей, она займёт место не ниже k-го (1 ≤ k ≤ N). Какое наименьшее число очков могло быть у команды Математики"?

Решение: Рассмотрим команды, занявшие по итогам турнира места с 1 по k + 1 (случай k = N опускаем ввиду его тривиальности). Они провели между собой матчей. Так как в каждой встрече теряется" не менее, чем 3 очка, в играх между собой эти команды в сумме потеряли не менее очков; тогда по принципу Дирихле среди них есть команда, потерявшая не менее (а следовательно, набравшая не более ) очков. Ясно, что это и есть команда, занявшая k + 1 место. Таким образом, набор Математиками" +1 очка гарантирует им место не ниже k-го.

Покажем, что набор Математиками" даже очков может привести к тому, что Математики" займут k + 1 место. Пусть Математики" и ещё k команд теряют очки только во встречах между собой. Занумеруем эти команды в произвольном порядке числами от 1 до k + 1. Рассмотрим два случая:

1) k чётно. Пусть команда с номером i, 1 ≤ i ≤ k + 1 проиграла матчи командам с номерами j той же чётности, 1 ≤ j < i, и командам с номерами j противоположной чётности, i < j ≤ k + 1, выигрыв у остальных. Тогда каждая из рассматриваемых команд набрала ровно очков, и любая из них (в том числе Математики") может оказаться худшей, то есть занять место ниже k-го.

2) k нечётно. Пусть матчи между командами 1 и 2, 3 и 4,   , k и k + 1 завершились вничью, и каждая команда с номером i, 1 ≤ i ≤ k + 1 проиграла матчи командам с номерами j той же чётности, 1 ≤ j < i, и командам с номерами j противоположной чётности, i < j ≤ k + 1, (исключая случай i нечётно, j = i + 1), выигрыв у остальных. Снова все эти команды набрали поровну очков, и вновь Математики" могут оказаться среди них последними. Остаётся заметить, что число очков, набранное каждой из команд, равно .

ОТВЕТ: очков при k < N, и 0 очков при k = N.

Задача 2: Про квадратные трехчлены f1, f2 и f3 с разными старшими коэффициентами известно, что их разности f1  f2, f2  f3 и f3  f1 имеют по одному корню. Докажите, что эти корни совпадают.

Решение: Обозначим f1 = a1x² + b1x + c1, f2 = a2x² + b2x + c2, f3 = a3x² + b3x + c3, a1  a2 =  α  ≠ 0, a2  a3 =  β  ≠ 0, a3  a1 =  γ  ≠ 0. Но f1  f2 = f1  f3 + f3  f2, то есть выполнено тождество  α (x  x1)² ≡    γ (x  x3)²   β (x  x2)², в котором  γ  =    α    β . Тогда

 α (x  x1)² ≡ ( α  +  β )(x  x3)²   β (x  x2)²(*).

Пусть, не ограничивая общности, a1 < a2 < a3. Тогда  α ,, β  < 0. Подставим в (*) x = x3:  α (x3  x1)² =    β (x3  x2)². Поскольку  α  и  β  одного знака, то x3  x1 = x3  x2 = 0, откуда и следует утверждение задачи.

Задача 3: Пусть M точка на диаметре AB окружности с центром в точке O; C и D точки окружности, расположенные по одну сторону от AB и такие, что  ∠ CMA =  ∠ DMB,  ∠ OCM =  α . Чему равен угол  ∠ ODM?

Решение: Продолжим CM и DM до пересечения с окружностью соответственно в точках D1 и C1 (см. рис.22). Из равенства  ∠ CMA =  ∠ DMB получаем, что точки C1 и D1 симметричны точкам C и D относительно диаметра AB. Тогда . Из равенства  ∠ CMD =  ∠ COD получаем, что точки C, M, O, D лежат на одной окружности. Значит,  ∠ OCM =  ∠ ODM, так как они опираются на одну и ту же дугу этой окружности.

ОТВЕТ:  ∠ ODM =  α .

Задача 4: Каково наибольшее число подряд идущих членов последовательности xn = n² + 1999, наибольший общий делитель которых больше 1?

Решение: Пусть d общий делитель трёх подряд идущих членов последовательности xn, xn + 1 и xn + 2. Тогда число xn + 2  2xn + 1 + xn = (n + 2)²  2(n + 1)² + n² = 2 тоже делится на 2, то есть d = 1 или d = 2. Но d ≠ 2, так как среди любых двух подряд идущих членов последовательности один нечётен. Итак, d = 1, то есть не существует трёх подряд идущих членов последовательности, наибольший общий делитель которых больше 1.

Два таких числа существуют. Например, x5 = 2024 и x6 = 2035 делятся на 11.

ОТВЕТ: Два члена последовательности.

http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.98-99.oblast.10klass.day2&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW