Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_ni7q93v0905tqptj4ddjgr9h64, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_ni7q93v0905tqptj4ddjgr9h64, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Заочный тур. 8 класс (с решениями)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Заочный тур. 8 класс (с решениями)

Задача 1: Докажите, что для всякого положительного числа a хотя бы одно из чисел и не меньше двух.

Решение:

Первый способ. Пусть, от противного, и . Перемножим неравенства почленно (это допустимо, так как все числа положительны) и заменим a³ на t. Получим неравенство , где t > 0. Последнее неравенство легко приводится к виду (t  1)² < 0, которое не выполняется ни для каких t.

Второй способ. Снова предположим, что и . Сложим неравенства почленно и преобразуем получившееся неравенство:

противоречие.

Задача 2: Назовём диагональ многоугольника хорошей, если она делит его на две фигуры равной площади. Какое наибольшее число хороших диагоналей может иметь выпуклый пятиугольник?

Решение:

Ответ: две диагонали. Покажем сначала, что трёх хороших диагоналей не может быть. Предположим противное. Тогда так как каждая диагональ соединяет две вершины из пяти, у пятиугольника (обозначим его ABCDE) найдётся вершина (скажем, A), из которой выходят две хорошие диагонали AC и AD. Но тогда площадь каждого из треугольников ABC и ADE равна половине площади пятиугольника, то есть площадь треугольника ACD равна нулю. Противоречие.

Построим пятиугольник с двумя хорошими диагоналями. Рассмотрим равнобедренную трапецию ABDE, диагонали которой перпендекулярны и делятся точкой пересечения O в отношении см. рис. 7. Построим точку C таким образом, чтобы четырёхугольник OBCD оказался квадратом. Тогда площади треугольников AOB и DOE равны (так как эти треугольники образованы диагоналями трапеции и примыкают к её боковым сторонам), площадь треугольника AOE вдвое больше площади треугольника BOD (так как эти треугольники подобны с коэффициентом ) и равна площади квадрата OBCD, а значит, диагонали AD и BE пятиугольника ABCDE хорошие.

Задача 3: Пончик закусывал в придорожном кафе, когда мимо него прошёл автобус. Через 3 плюшки мимо Пончика проехал мотоцикл, а ещё через 3 автомобиль. Мимо Сиропчика, который закусывал в другом кафе у того же шоссе, они проехали в таком порядке: автобус, через 3 плюшки автомобиль и ещё через 3 мотоцикл. Скорость автомобиля равна 60 км/ч, мотоцикла 30 км/ч. Чему равна скорость автобуса, если Пончик и Сиропчик поглощают плюшки с одной и той же одинаковой скоростью?

Решение: Пусть t(ч) время, за которое Пончик съедает три плюшки, x(км/ч) скорость автобуса. В момент времени, когда мимо Пончика проехал автомобиль, автобус находился от него на расстоянии 2xt км, а мотоцикл на расстоянии 30t км. Cпустя a часов, в тот момент времени, когда мимо Сиропчика проехал мотоцикл, автомобиль находился от него на расстоянии 60t км, а автобус на расстоянии 2xt км от мотоцикла, следовательно, на расстоянии 2xt  60t км от автомобиля. Сравнивая расстояния, пройденные автомобилем и мотоциклом получаем уравнение a(60  30) = 60t + 30t, откуда , а сравнивая расстояния, пройденные автобусом и автомобилем, получаем уравнение a(60  x) = (2xt  (2xt  60t)) = 60t, откуда .

Ответ: 40 км/ч.

Задача 4: Можно ли так вписать в таблицу 8 × 8 числа от 1 до 64 (каждое число ровно 1 раз), так чтобы сумма любых двух чисел, стоящих в клетках, имеющих общую сторону или вершину, не делилась бы на 4?

Решение: Заметим, что среди чисел от 1 до 64 ровно 16 при делении на четыре дают остаток 1, ровно 16 2, ровно 16 3, и ровно 16 делятся без остатка (т.е. остаток равен нулю). Очевидно, сумма двух целых чисел делится на четыре тогда и только тогда, когда делится на четыре сумма их остатков. Задачу, следовательно, можно переформулировать следующим образом: можно ли в таблицу 8 × 8 вписать нули, единицы, двойки и тройки по 16 экземпляров каждого числа так, чтобы ни в каких клетках, имеющих общую сторону или вершину не стояли ни два нуля, ни две двойки, ни единица с тройкой. Рис.8 показывает, что такое размещение возможно.

http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=rregion.ekaterinburg.oblast.98-99.zaochn.8klass&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW