Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Турнир имени Ломоносова 1993 (с решениями)

Задача 1: (79) На сторонах шестиугольника было записано шесть чисел, а в каждой вершине число, равное сумме двух чисел на смежных с ней сторонах. Затем все числа на сторонах и одно число в вершине стерли. Можно ли восстановить число, стоявшее в вершине?

Решение:

Пусть ABCDEF данный шестиугольник, и нам нужно восстановить число в вершине A. Заметим, что сумма чисел в вершинах A, C и E равна сумме цифр в вершинах B, D и F. Действительно, обе эти суммы равны сумме чисел, стоявших исходно на всех сторонах шестиугольника. Поэтому, чтобы восстановить число в вершине A нужно из суммы чисел в вершинах B, D и F вычесть числа в вершинах C и E.

Задача 2: (79) Вершины A, B, C треугольника соединены с точками A1, B1, C1, лежащими на противоположных сторонах (не в вершинах). Могут ли середины отрезков AA1, BB1, CC1 лежать на одной прямой?

Решение:

Средняя линия B2C2 треугольника ABC параллельна основанию BC. Отсюда следует, что середина отрезка AA1 лежит на отрезке B1C1. Это легко выводится из подобия треугольников (можно также применить теорему Фалеса). Аналогично, середины отрезков BB1 и CC1 лежат на двух других средних линиях треугольника ABC (рис. 44). Поскольку прямая не может пересекать три стороны треугольника во внутренних точках, три указанные точки не могут лежать на одной прямой.

Задача 3: (79) Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C первое (за победу присуждается одно очко, за ничью пол-очка)?

Решение:

Описанная ситуация могла произойти, например, в следующем случае. Турнир проходил в 8 туров. A победил B 1 раз, а C 2 раза; B победил C 4 раза, а A ни разу; C победил A 2 раза, а B 3 раза. Таким образом A одержал 3 победы и получил 8.5 очков, B 4 победы и 8 очков, C 5 побед и 7.5 очков.

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW