Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_299gkl1gr6h41g78a5qqo3ncj2, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_299gkl1gr6h41g78a5qqo3ncj2, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Московская математическая олимпиада. Отборочный тур. 10 класс (без решений)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Московская математическая олимпиада. Отборочный тур. 10 класс (без решений)

Задача 1: В параллелограмме ABCD точка E середина стороны AD, F основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на прямую CE. Доказать, что AF = AB. Задача 2: Фигура M в пространстве представляет собой пересечение единичного куба 0 э x э 1, 0 э y э 1, 0 э z э 1 с полупространством ax + by + cz э d (a, b и c положительные числа). Докажите, что объем M равен

где f(x) = max (x,0).

Задача 3: В каждой клетке шахматной доски стоит знак + или C . Разрешается одновременно заменять все знаки, стоящие в одной строке или в одном столбце на противоположные. Докажите, что с помощью многократного применения этой операции можно сделать все знаки плюсами тогда и только тогда, когда в любом квадрате 2 а 2 стоит четное число плюсов.

Задача 4: Фанерный прямоугольник расчерчен отрезками на прямоугольники. Докажите, что по этим отрезкам его можно распилить ножовкой (пилить можно только от края, поворачивать нельзя, отпиленные куски разнимаются).

Задача 5: Для каждого натурального числа n обозначим через An множество натуральных чисел, больших единицы, дающих при делении на n остаток единица. Назовем число из An неприводимым, если оно не представимо в виде произведения двух меньших чисел из An. Докажите, что для любого n > 2 найдется число в An, представимое в виде произведения неприводимых в An чисел различными способами.

 Задача 6: Задано натуральное число n > 3. Верно ли, что среди всех n-угольников (не только выпуклых) наибольшую сумму синусов внутренних углов имеет правильный?

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW