Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_3g63dh86ijgl2ophmv0i3fl245, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_3g63dh86ijgl2ophmv0i3fl245, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Московская математическая олимпиада. Городской тур. 9 класс (без решений)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Московская математическая олимпиада. Городской тур. 9 класс (без решений)

Задача 1: В треугольнике одна сторона в 3 раза меньше суммы двух других. Докажите, что противолежащий ей угол наименьший угол треугольника.

(А.К.~Толпыго)

Задача 2: На тарелке лежит 9 разных кусочков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились бы на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?

(В.А.~Дольников)

Задача 3: В выпуклом шестиугольнике AC1BA1CB1 стороны попарно равны: AB1 = AC1, BC1 = BA1, CA1 = CB1 и  ∠ A +  ∠ B +  ∠ C =  ∠ A1 +  ∠ B1 +  ∠ C1. Доказать, что площадь треугольника ABC равна половине площади шестиугольника.

(В.В.~Произволов)

Задача 4: По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют N поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции A, B, C (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию A и одновременно Леша входит на станцию B, чтобы уехать на ближайших поездах.

Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Леши, а в остальных случаях Леша раньше или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?

(А.К.~Ковальджи, В.~Палт)

Задача 5: 2n спортсменов дважды провели круговой турнир (в круговом турнире каждый встречается с каждым, за победу начисляется одно очко, за ничью 1/2, за поражение 0). Сумма очков каждого изменилась не менее, чем на n.

Доказать, что она у всех изменилась ровно на n.

(Б.Р.~Френкин)

Задача 6: Пусть 1 + x + x² +    + xn  1 = F(x)G(x), где F и G многочлены, коэффициенты которых нули и единицы (n > 1). Докажите, что один из многочленов F(x), G(x) представим в виде (1 + x + x² +   s + xk  1)T(x), где T также многочлен с коэффициентами 0 и 1, а k > 1.

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW