Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Московская математическая олимпиада. Отборочный тур. 9 класс (без решений)

Задача 1:

Напомним правила игры Жизнь. На клетчатом листе стоит несколько фишек. Их расположение во всех клетках одновременно меняется следующим образом. Если в клетках, соседних с данной (по стороне или углу), стоит ровно 3 фишки, то в данную клетку ставится фишка (если ее не было). Если в соседних клетках более 3 или менее 2 фишек, то фишка снимается (если она была). Если в соседних клетках ровно 2 фишки, то состояние клетки не меняется.

Докажите, что в игре Жизнь на квадрате 2001 × 2001 существует конфигурация, не имеющая прообраза.

Задача 2:

Докажите, что равенство |x!  yy| = n при любом натуральном n имеет лишь конечное число решений в натуральных числах x, y.

Задача 3:

Дан треугольник ABC. На прямой AB отметим точку C′. Вокруг треугольников ACC′ и BCC′ опишем окружности и отметим вторые точки A′ и B′ их пересечения с прямыми BC и AC соответственно. Вокруг треугольников A′AB и ABB′ опишем окружности и отметим их вторые точки пересечения B″ и A″ с прямыми AC и BC и т.д. Сколько точек будет отмечено на прямой AB после построения 2001 окружности?

Задача 4: Существует ли такая функция f(x), определенная на всей оси и отличная от константы, что при всех x, y, z выполнено неравенство f(x + y) + f(y + z) + f(z + x) ≥ 4f(x + 2y + 3z)?

Задача 5: Единичный квадрат разбит на три многоугольника. Докажите, что диаметр хотя бы одного из них не меньше .

Задача 6: На плоскости отмечено 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, причём все попарные расстояния между ними различны. Докажите, что среди треугольников с вершинами в этих точках найдутся два треугольника с общей стороной такой, что для одного эта сторона является наибольшей, а для другого - наименьшей.

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW