Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Московская математическая олимпиада. Отборочный тур. 10 класс (без решений)

Задача 1: Фокусник угадывает поочередно масть всех карт в колоде из 52 карт. После каждого ответа ему сообщают, угадал он или ошибся. Докажите, что существует стратегия, позволяющая угадать не менее 13 карт, и нет стратегии, позволяющей гарантированно угадать больше.

Задача 2: Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим через A1, B1, C1 проекции точки O на прямые BC, CA, AB соответственно. Через A2, B2, C2 обозначим вторые точки пересечения прямых AO, BO, CO с описанной окружностью треугольника ABC. Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны.

Задача 3: Докажите, что неравенство |x! C yy| э n при любом натуральном n имеет лишь конечное число решений в натуральных числах x, y.

Задача 4: Найдите для каждого натурального n щ 1 все функции (не обязательно непрерывные), которые удовлетворяют уравнению f(x + y) = fn(x) + fn(y).

Задача 5: Дано k последовательностей s1, , sk длины n, состоящих из  ю 1. Докажите, что можно найти такую последовательность s, состоящуюю из  ю 1, что количество последовательностей, принадлежащих одновременно обоим множествам s1,   ,sk и ss1,  ,ssk не превосходит . (Произведением последовательностей xi и yi называется последовательность xiyi.)

Задача 6:

Прямые разбивают верхнюю полуплоскость на многоугольники, диаметр каждого из которых меньше 1, и все стороны и площадь больше 0.000001. Докажите, что один из них можно выдвинуть вниз, не смещая остальные.

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW