Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Канадская математическая олимпиада. 2001 (без решений)

Задача 1:

Ренди: Привет, Рейчел, ты написала интересное квадратное уравнение. Каковы его корни?

Рейчел: Его корнями являются два натуральных числа. Один из корней C мой возраст, другой C возраст моего младшего брата Джимми.

Ренди: Это очень изящно! Посмотрим, смогу ли я вычислить, сколько лет тебе и сколько Джимми. Это не должно быть сложным, ведь коэффициенты твоего уравнения C целые числа. Кстати, я заметил, что сумма всех трёх коэффициентов C простое число.

Рейчел: Интересно. Так посчитай, сколько мне лет.

Ренди: Вместо этого я попытаюсь угадать твой возраст и подставить его вместо xХм, получилось C 55, а не 0.

Рейчел: Уйди, противный!

  1. Докажите, что Джимми два года.
  2. Определите возраст Рейчел

Задача 2:

Клетки на доске пронумерованы от C 10 до 10, как показано на рисунке. Каждая клетка покрашена в красный или белый цвет, сумма чисел на красных клетках равна n. Морин положила жетон на клетку с номером 0. После этого она десять раз кидает монетку. Если выпадает орёл, Морин сдвигает жетон на одну клетку вправо, если решка, C то на одну клетку влево. Вероятность того, что после 10 бросков жетон окажется на красной клетке C рациональное число вида . Известно, что a + b = 2001, определите максимальное возможное значение n.

Задача 3: Дан треугольник ABC, у которого AC > AB. Пусть P C точка пересечения серединного перпендикуляра отрезка BC и биссекрисы о A. Постройте точку X на прямой AB и точку Y на прямой AC так, чтобы прямая PX была перпендикулярна прямой AB, а прямая PY перпендикулярна прямой AC. Пусть Z C точка пересечения XY и BC. Найдите отношение BZ:ZC.

Задача 4: Пусть n C натуральное число. У Ненси есть прямоугольная таблица, состоящая из натуральных чисел. Разрешается делать следующие ходы:

  1. выбрать строку и умножить все числа, стоящие в ней на n;
  2. выбрать строку и уменьшить все числа, стоящие в ней на n.
Найдите все возможные значения n, при которых верно следующее утверждение:
Какая бы ни была прямоугольная таблица, Ненси сможет через конечное число ходов добиться, чтобы все числа в таблице были равны 0.

Задача 5: Точки P0, P1, P2 лежат на окружности радиуса 1, причём P1P2 = t < 2. Для каждого i щ 3, обозначим Pi центр описанной окружности ∆ Pi C 1Pi C 2Pi C 3.

  1. Докажите, что точки P1,P5,P9,P13, лежат на одной прямой.
  2. Пусть x C расстояние между точками P1 и P1001, а y C расстояние между точками P1001 и P2001. Найдите все значения t при которых C целое число.

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=national.cmo.2001&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW