Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Математическая олимпиада США. 1995 (без решений)

Задача 1:

p  нечетное простое число. Последовательность an определена следующим образом: ak = k, при 0 ≤ p ≤ p  2, а дл n ≥ p  1 an  наименьшее положительное число, которое не образует арифметическую прогрессию длины p ни с какими p  1 предыдущими членами последовательности. Докажите, что для любого n an это число, получающееся после записи n в системе счисления с основанием p  1, прочитанное как число, записанное в системе с основанием p.

Задача 2:

Калькулятор может выполнять только следующие действия  вычислять тригонометрические функции  sin ,; cos ,; tg  и обратные тригонометрические функции  sin   1,; cos   1, и  tg   1. Первоначально на индикаторе калькулятора  0. Докажите, что конечным числом операций можно получить любое рациональное число q. (Калькулятор работает в радианах и имеет неограниченную точность вычислений)

Задача 3:

Дан неравнобедренный непрямоугольный треугольник ABC. O  центр описанной окружности A1,B1,C1  середины сторон BC,CA,AB соответственно. Точка A2 взята на луче OA1 так, что треугольники OAA1 и OA1A2 подобны. Аналогично на лучах OB1 и OC1 взяты точки B2 и C2. Докажите, что три прямые AA2,BB2,CC2 пересекаются в одной точке.

Задача 4:

q0,,q1,,q2,    последовательность целых чисел, удовлетворяющая следующим двум условиям:

1) qm  qn делится на m  n при любых m > n ≥ 0;

2) существует такой многочлен P, что |qn| < P(n) для всех n

Докажите, что существует такой многочлен Q, что для всех n qn = Q(n).

Задача 5:

В некотором обществе любые два человека либо дружат, либо враждуют. Всего в обществе n человек, среди которых q пар друзей и среди любых трех человек по крайней мере двое враждуют. Докажите, что найдется такой человек среди врагов которого не менее чем q(1  4q/n²) пар друзей.

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=national.usamo.1995&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW