Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_6709igm0q6a6lfv1lnokhafhu4, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_6709igm0q6a6lfv1lnokhafhu4, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Математическая олимпиада США. 1996 (без решений)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Математическая олимпиада США. 1996 (без решений)

Задача 1:

Докажите, что среднее арифметическое чисел 2 sin 2,4 sin 4,  ,2n sin 2nЦ,  ,180 sin 180 равно  ctg 1Ц.

Задача 2:

Для непустого множества S обозначим сумму его элементов через  р (S). A C множество, состоящее из n натуральных чисел. Рассмотрим набор различных сумм  р (S), где S пробегает все непустые подмножества A. Докажите, что эти суммы можно разделить на n классов в каждом из которых отношение максимальной суммы к минимальной будет не более 2.

Задача 3:

ABC C треугольник. Докажите, что найдется такая прямая l, что площадь пересечения треугольника ABC с треугольником AДBДCД, симметричным ABC относительно прямой l, не меньше 2/3 площади исходного треугольника.

Задача 4:

Последовательность (x1,x2,  ,xn), каждый член которой равен либо 0 либо 1 называется двоичной последовательностью длины n. Пусть an C количество двоичных последовательностей длины n, некоторые три последовательные члена которых равны 0, 1, 0, а bn C количество двоичных последовательностей длины n, никакие четыре последовательных члена которых не равны ни 0, 0, 1, 1 ни 1, 1, 0, 0. Докажите, что для всех n bn + 1 = 2an.

Задача 5:

Треугольник ABC обладает следующим свойством: существует така точка P внутри треугольника, что  о PAB = 10Ц,  о PBA = 20Ц,  о PCA = 30Ц и  о PAC = 40Ц. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Задача 6:

Определите (с доказательством) существует ли множество целых чисел X такое, что для любого n уравнение a + 2b = n имеет ровно одно решение с a и b из X.

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=national.usamo.1996&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW