Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Математическая олимпиада США. 1997 (без решений)

Задача 1:

p1,p2,p3,    последовательность всех простых чисел, выписанных в порядке возрастания, x0  вещественное число между 0 и 1. Для натурального k определим

где x обозначает дробную часть числа x. Найдите все x0 такие, что последовательность x0,x1,   становится равной нулю начиная с некоторого места.

Задача 2:

На сторонах треугольника ABC внешним образом построили равнобедренные треугольники BCD,CAE,ABF, при этом стороны исходного треугольника послужили основаниями для построенных. Докажите что прямые, проходящие через точки A,B,C перпендикулярные прямым EF,FD,DE соответственно, пересекаются в одной точке.

Задача 3:

Докажите, что для любого целого числа n существует единственный многочлен Q с коэффициентами из множества 0,1,  ,9 такой, что Q(  2) = Q(  5) = n.

Задача 4:

Урезанием выпуклого n-угольника назовем выбор некоторой пары соседних сторон AB и BC, и отрезание треугольника MBN, где M  середина AB, а N  середина BC, в результате получается выпуклый (n + 1)-угольник. Правильный шестиугольник урезали до семиугольника , его, в свою очередь до восьмиугольника (каким-то из семи возможных способов)б и так далее. Докажите, что вне зависимости от урезаний площадь всегда больше 1/3.

Задача 5:

Докажите, что для любых положительных вещественных a,b,c

(a³ + b³ + abc)  1 + (b³ + c³ + abc)  1 + (c³ + a³ + abc)  1 ≤ (abc)  1.

Задача 6:

a1,a2,  ,a1997  последовательность неотрицательных целых чисел удовлетворяющая для всех i,j ≥ 1, i + j ≤ 1997 следующему условию:

ai + aj ≤ ai + j ≤ ai + aj + 1. Докажите, что существует вещественное число x такое, что an = [nx] (целая часть числа nx).

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=national.usamo.1997&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW