Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Математическая олимпиада США. 1998 (без решений)

Задача 1:

Множество натуральных чисел от 1 до 1998 разбили на непересекающиеся пары ai,bi так, что числа в каждой паре отличаются на 1 или 6. Докажите, что число |a1  b1| + |a2  b2| +    + |a999  b999| оканчивается на цифру 9.

Задача 2:

Даны две концентрические окружности. Хорда AC большей окружности касается меньшей в точке B. D  середина отрезка AB. Прямая, проходящая через точку A пересекает меньшую окружность в точках E и F, притом серединные перпендикуляры DE и CF пересекаются в точке M, лежащей на AB. Найдите отношение AM/MC.

Задача 3:

a0,a1  ,an  числа из интервала (0, π /2), удовлетворяющие условию Докажите, что  tg a0 tg a1  s tg an ≥ nn + 1.

Задача 4:

Доска 98 × 98 покрашена в шахматном порядке. Разрешается в любом прямоугольнике, со сторонами параллельными сторонам квадрата поменять цвета на противоположные. Определите минимальное количество операций, необходимых для того, чтобы все клетки доски стали одного цвета.

Задача 5:

Докажите, что для любого n ≥ 2 существует n-элементное множество, квадрат разности любых двух элементов, которого делит их произведение.

Задача 6:

Для любого n ≥ 5 найдите максимальое k такое, что существует выпуклый n-угольник A1A2  An для которого ровно в k четырехугольниов AiAi + 1Ai + 2Ai + 3 можно вписать окружность.

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=national.usamo.1998&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW