Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Международная МО. 40 олимпиада (с решениями)

Задача 1:

Найдите все конечные множества S состоящие не менее чем из трех точек плоскости, симметричные относительно серединных перпендикуляров отрезков с концами из S.

Решение:

Докажем, что выпуклая оболочка S C правильный многоугольник. Если |S| = 3, то все очевидно. Если |S| щ 4, то рассмотрев четыре точки подряд A1,A2,A3,A4, убедимся, что треугольники A1A2A3 и A2A3A4 равны (симметрия относительно серединного перпендикуляра к A2A3), а треугольник A1A2A3 равнобедренный (симметрия относительно серединного перпендикуляра к A1A3). Очевидно, что S не может содержать какие-нибудь еще точки за исключением вершин своей выпуклой оболочки.

Задача 2:

Найдите наименьшее C такое, что при фиксированном n

для любых неотрицательных x1,x2,  ,xn и для этого значения C определите, когда достигается равенство.

Задача 3:

Найдите минимальное количество клеток, которые можно покрасить на доске 2n а 2n так, чтобы у любая клетка (в том числе покрашенная) граничила бы по стороне с покрашенной клеткой.

Задача 4:

Найдите все пары чисел n,p для которых p простое, n э 2p и (p C 1)n + 1 делится на np C 1.

Задача 5:

Окружности  ё 1 и  ё 2 лежат внутри окружности  ё  и касаются ее в точках M и N соответственно, притом, центр окружности  ё 2 лежит на  ё 1. Продолжение общей хорды окружностей  ё 1 и  ё 2 пересекает  ё  в точках A и B. Прямые MA и MB повторно пересекают  ё 1 в точках C и D. Докажите, что прямая CD касается  ё 2.

Задача 6:

Найдите все функции такие, что f(x C f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) C 1.

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=internat.imo.40&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW