Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Международная МО. 38 олимпиада (без решений)

Задача 1: Плоскость разбита на единичные квадраты, вершины которых находятся в точках с целочисленными координатами. Квадраты раскрашены поочередно в черный и белый цвета (т.е. в шахматном порядке). Для каждой пары натуральных чисел m и n рассматривается прямоугольный треугольник с вершинами в целочисленных точках, катеты которого имеют длины m и n и проходят по сторонам квадратов. Пусть S1 площадь черной части треугольника, а S2 площадь его белой части. Положим f(m,n) = |S1  S2|.

(a) Вычислить f(m,n) для всех натуральных чисел m и n, которые либо оба четны, либо оба нечетны.

(b) Доказать, что f(m,n) ≤ ½ max (m,n) для всех m и n.

(c) Показать, что не существует константы C такой, что f(m,n) < C для всех m и n.

Задача 2: В треугольнике ABC угол A является наименьшим. Точки B и C делят окружность, описанную около этого треугольника, на две дуги. Пусть U внутренняя точка той дуги с концами B и C, которая не содержит точку A. Срединные перпендикуляры к отрезкам AB и AC пересекают прямую AU в точках V и W соответственно. Прямые BV и BW пересекаются в точке T.

Доказать, что AU = TB + TC.

Задача 3: Пусть x1, x2, , xn действительные числа, удовлетворяющие условиям |x1 + x2 +    + xn| = 1 и

Доказать, что существует перестановка y1, y2, , yn чисел x1, x2, , xn такая, что

Задача 4: Таблица n × n, заполненная числами из множества S = 1,,2,,  ,,2n  1, называется серебряной, если для любого i = 1, 2, , n объединение i-ой строки и i-го столбца содержит все числа из S.

Показать, что:

(а) Не существует серебряной таблицы для n = 1997;

(b) Серебряные таблицы существуют для бесконечного числа значений n.

Задача 5: Найти все пары (a,b) целых чисел a ≥ 1, b ≥ 1, удовлетворяющих уравнению

Задача 6: Для любого натурального числа n обозначим через f(n) число способов представления числа n в виде суммы целых неотрицательных степеней числа 2.

Представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми. Например, f(4) = 4, так как число 4 может быть представлено следующими четырьмя способами: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Доказать, что для любого целого числа n ≥ 3

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=internat.imo.38&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW