Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Международная МО. 34 олимпиада (без решений)

Задача 1:

Пусть f(x) = xn + 5xn  1 + 3, где n > 1  целое число. Доказать, что f(x) не может быть представлен в виде произведения двух многочленов, каждый из которых степени не меньше 1 и все коэффициенты которых  целые числа.

Задача 2:

Дан остроугольный треугольник ABC и точка D внутри него, такая что  ∠ ADB =  ∠ ACB + 90   и AC  BD = AD  BC.

а) Вычислить значение отношения ;

б) Доказать, что касательные, проведенные в точке C к окружности, описанной около треугольников ACD и BCD, перпендикулярны.

Задача 3:

На бесконечной шахматной доске ведется игра. В начале n² фишек занимают поле n × n, по одной фишке в каждой клетке. Ход заключается в том, что какая-то фишка перепрыгивает в горизонтальном или вертикальном направлении через одну соседнюю занятую клетку на свободную клетку за ней. При этом фишка, через которую перепрыгнули, снимается с доски. Найти все n, для которых можно оставить на доске всего одну фишку.

Задача 4:

Для трех точек P,Q,R на плоскости через m(PQR) обозначим наименьшую из длин высот треугольника PQR. Пусть на плоскости даны точки A,B,C,D . Доказать m(ABC) ≤ m(ABD) + m(ADC) + m(DBC).

Задача 5:

Существует ли функция такая, что

Задача 6:

Пусть n > 1  целое число. По окружности расположено n ламп L0,  ,Ln  1. Каждая лампа может быть в состоянии включена или выключена. Последовательность шагов S0,S1,  ,Si,   определена следующим образом. Шаг Sj влияет только на состояние лампы Lj (и не влияет на состояние остальных ламп) так что, если Lj  1 включена, то Sj изменяет состояние лампы Lj (то есть, если Lj была включена, то станет выключена и наоборот). Если Lj  1 выключена, то Sj ничего не меняет. Лампы пронумерованы по модулю n (т.е. Ln = L0 и т.д.)

Первоначально все лампы включены. Доказать, что

а) Существует натуральное M(n) такое, что после M(n) все лампы будут включены.

б) Если n  число вида 2k, то после n²  1 шагов все лампы будут включены.

в) Если n  число вида 2k + 1, то после n²  n + 1 шагов все лампы будут включены.

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=internat.imo.34&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW