Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Международная МО. 32 олимпиада (без решений)

Задача 1: [СССР] Дан треугольник ABC. Пусть A′, B′, C′  точки пересечения биссектрис углов CAB, ABC, BCA со сторонами BC, CA, AB соответственно и I  центр вписанной окружности. Докажите, что

Задача 2: [Румыния] Пусть n  целое число, n > 6 и a1, a2, , ak  это все натуральные числа, которые меньше n и взаимно просты с n. Докажите, что если a2  a1 = a3  a2 =    = ak  ak  1 > 0, то n  или простое число, или натуральная степень числа 2.

Задача 3: [Китай] Пусть S = 1,2,  ,280. Найдите наименьшее натуральное число n такое, что любое n-элементное подмножество множества S содержит 5 попарно взаимно простых чисел.

Задача 4: [США] Дан связный граф G с k ребрами. Докажите, что можно занумеровать ребра всеми числами 1, 2, , k так, что для каждой вершины графа, которая соединена ребрами не менее чем с двумя другими вершинами, набор чисел, которыми помечены эти ребра, не имеет общего делителя, большего 1.

Задача 5: [Франция] Пусть P  внутренняя точка треугольника ABC. Докажите, что хотя бы один из углов PAB, PBC, PCA не больше 30.

Задача 6: [Нидерланды] Бесконечная последовательность действительных чисел x0,x1,x2,   называется ограниченной, если существует постоянная C такая, что |xi| ≤ C для каждого i ≥ 0.

Дано действительное число a > 1. Постройте ограниченную бесконечную последовательность x0,x1,x2,   такую, что неравенство |xi  xj|  |i  j|a ≥ 1 выполнено для каждой пары различных чисел i и j.

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=internat.imo.32&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW