Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_11a53dgn4m066j9sf62q6bsvt7, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_11a53dgn4m066j9sf62q6bsvt7, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Международная МО. 30 олимпиада (без решений)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Международная МО. 30 олимпиада (без решений)

Задача 1: [Филиппины] Докажите, что множество 1,2,  ,1989 можно представить в виде объединения попарно непересекающихся множеств Ai (i = 1,2,  ,117) таких, что

а) каждое из множеств Ai имеет 17 элементов;

б) S1 = S2 =   S117, где Si C сумма всех чисел множества Ai.

Задача 2: [Австралия] Биссектрисы углов A, B, C остроугольного треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Прямая AAi пересекает биссектрисы внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC в точке A0. Точки B0 и C0 определяются аналогично.

Докажите, что

а)

б)

Задача 3: [Венгрия] Пусть n и k C фиксированные натуральные числа, n щ k. Множество S из n точек плоскости обладает следующими свойствами:

а) никакие три точки из S не лежат на одной прямой;

б) для любой точки P й S существуют не менее k различных точек из S, равноудаленных от P.

Докажите, что

Задача 4: [Исландия] Пусть ABCD C выпуклый четырехугольник, стороны AB, AD и BC которого удовлетворяют равенству AB = AD + BC. Внутри этого четырехугольника существует точка P такая, что AP = h + AD и BP = h + BC, где h C расстояние от точки P до прямой CD.

Докажите, что

Задача 5: [Швеция] Докажите, что для любого n найдется n последовательных натуральных чисел, каждое из которых не является степенью простого числа с целым показателем.

Задача 6: [Польша] Назовем перестановку (x1,x2,  ,x2n) из чисел 1,2,  ,2n удобной, если |xi C xi = 1| = n по крайней мере для одного значения i й 1,2,  ,2n C 1. Докажите, что при любом n больше половины всех возможных перестановок являются удобными.

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=internat.imo.30&solution=1

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW