Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. 1998. Городской тур. 9 класс (без решений)

Задача 1:

Числа x, y, z, t удовлетворяют неравенству (x + y + z + t)² ≥ 4(x² + y² + z² + t²),. Докажите, что существует такое вещественное число a, что (x  a)(y  a) + (z  a)(t  a) = 0,.

(С.Берлов)

Задача 2:

Вдоль окружности расставлены числа от 1 до 100 (в произвольном порядке). Для каждых трех чисел, стоящих подряд, вычислили их сумму. Докажите, что какие-то две из вычисленных сумм отличаются не меньше, чем на 3.

(С.Берлов)

Задача 3:

В треугольнике ABC точка M  середина стороны BC; AA1, BB1, CC1  высоты. Прямые AB и A1B1 пересекаются в точке X, а прямые MC1 и AC  в точке Y. Докажите, что XY || BC.

(Д.~Ростовский)

Задача 4:

Найдите все целочисленные решения уравнения p² + q² + pq = 15r²,.

(А.~Голованов)

Задача 5:

В десятичной записи несократимой дроби m/n каждая цифра после запятой, кроме первой, меньше суммы двух соседних с ней цифр на одно и то же натуральное число k. Докажите, что n ≤ 819.

(Ю.~Базлов)

Задача 6:

Точка M  середина стороны AC треугольника ABC. На отрезке AM выбрали точку K, на отрезке BM  точку L, на отрезке BK  точку N. Оказалось, что KL || AB, MN || BC, CL = 2KM. Докажите, что CN  биссектриса угла ACL.

(С.Берлов)

Задача 7:

В стране 2n городов и несколько авиалиний. Любые четыре города соединены друг с другом не более чем четырьмя авиалиниями. Какое наибольшее количество авиалиний может быть в этой стране?

(С.Берлов)

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW