Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_ojis1ofknfm84trgpe6r9v8585, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_ojis1ofknfm84trgpe6r9v8585, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. 2000. Городской тур. 9 класс (без решений)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. 2000. Городской тур. 9 класс (без решений)

Задача 1:

С двух сторон дороги посадили два ряда по 1000 деревьев. На каждое дерево прибили табличку, в которой указано, сколько дубов среди этого дерева и его соседей слева и справа (у крайних деревьев  среди самого дерева и его единственного соседа). Оказалось, что две последовательности чисел на табличках совпадают. Докажите, что в обоих рядах дубы растут на одних и тех же местах.

(Д.~Ростовский, А.~Храбров)

Задача 2:

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. На высоте AA1 выбрана точка D такая, что A1D = C1D. Точка E  середина стороны AC. Докажите, что точки A, C1, D и E лежат на одной окружности.

(С.~Берлов)

Задача 3:

F(x) = x²ººº  x¹ººº + 1. Существуют ли такие различные натуральные числа a1, a2, , a2001, что F(ai)F(aj) делится на aiaj при всех i ≠ j?

(А.~Баранов)

Задача 4:

На координатной плоскости проведена 101 прямая и отмечены все точки их пересечения друг с другом. Может ли быть так, что на каждой из проведенных прямых лежат 50 отмеченных точек с положительными первыми координатами и 50  с отрицательными?

(С.Иванов)

Задача 5:

На доске написаны натуральные числа 1, 2, , 2000. Два игрока поочередно делают ходы по следующим правилам. Разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них ab. Через некоторое время на доске останется одно число. Первый игрок выигрывает, если оно оканчивается на 2, 7 или 8, а второй  в противном случае. Кто выиграет при правильной игре?

(В.~Франк)

Задача 6:

Вневписанная окружность треугольника ABC касается его стороны BC в точке K, а продолжения стороны AB  в точке L. Другая вневписанная окружность касается продолжений сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Прямые KL и MN пересекаются в точке X. Докажите, что CX  биссектриса угла ACN.

(С.~Берлов)

Задача 7:

Сложностью последовательности a1, a2, , составленной из нулей и единиц, называется наименьшее натуральное число k такое, что для некоторых натуральных чисел , , , каждый член последовательности an, n > k, имеет ту же четность, что и . Последовательность a1, a2, имеет сложность 1000. Какова может быть сложность последовательности 1  a1, 1  a2, ? (Укажите все возможные значения и докажите, что других нет).

(А.~Кириченко)

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW