Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_k8tkrivbcbnuh5crvlttftviu0, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_k8tkrivbcbnuh5crvlttftviu0, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. 2000. Городской тур. 10 класс (без решений)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. 2000. Городской тур. 10 класс (без решений)

Задача 1:

Последовательности x1,x2,   и y1,y2,   заданы условиями x1 = ⅛, , , . Докажите, что числа xm и yn не равны ни при каких натуральных m и n.

(А.~Голованов)

Задача 2:

AA1 и BB1  высоты остроугольного треугольника ABC. Точки K и M  середины отрезков AB и A1B1 соответственно. Отрезки AA1 и KM пересекаются в точке L. Докажите, что точки A, K, L и B1 лежат на одной окружности.

 

Задача 3:

Число N равно произведению 200 различных натуральных чисел. Докажите, что N имеет не меньше 19901 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).

(А.~Голованов)

Задача 4:

Клетки квадрата 2000 × 2000 закрашивают по следующим правилам. В любой момент можно закрасить одиночную клетку, если ни одна из соседних с ней клеток еще не закрашена; или прямоугольник 1 × 2, если к этому моменту уже закрашены ровно две из соседних с ним клеток; или квадрат 2 × 2, если уже закрашены 8 соседних с ним клеток. (Соседними считаются клетки, примыкающие по стороне.) Можно ли закрасить весь квадрат?

(К. Кохась)

Задача 5:

Одна из вневписанных окружностей треугольника ABC касается стороны AB и продолжений сторон CA и CB в точках C1, B1 и A1 соответственно. Другая вневписанная окружность касается стороны AC и продолжений сторон BA и BC в точках B2, C2 и A2 соответственно. Прямые A1B1 и A2B2 пересекаются в точке P, прямые A1C1 и A2C2  в точке Q. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

(С.~Берлов)

Задача 6:

Будем называть натуральное число почти простым, если оно не делится ни на одно простое число из интервала [3,19]. Будем называть число очень непростым, если оно имеет хотя бы два простых делителя из интервала [3,19]. Какое наибольшее количество почти простых чисел можно выбрать так, чтобы любые два из них в сумме давали очень непростое число?

(С.~Берлов, С.~Иванов)

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW