Warning: session_start(): open(/var/tmp//sess_rbo9u1nrbtjjamo9sc88s693c0, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2135 Warning: session_commit(): open(/var/tmp//sess_rbo9u1nrbtjjamo9sc88s693c0, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in /usr/local/www/virtualhosts/en.edu.ru/current/web/cache/Eaze.Core.php on line 2196 Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. 2000. Отборочный тур. 9 класс (без решений)
Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. 2000. Отборочный тур. 9 класс (без решений)

Задача 1:

Существуют ли четыре таких квадратных трехчлена, что, записав их в любом порядке, мы сможем найти число, при подстановке которого в эти трехчлены полученные значения будут записаны в строго возрастающем порядке?

(А.~Голованов)

Задача 2:

S1 и S2  две окружности, не имеющие общих точек. Общая касательная (внешняя) касается их в точках A и B. Окружность S3 проходит через A и B и вторично пересекает S1 и S2 в точках C и D соответственно. K  точка пересечения прямых, касающихся S1 и S2 в точках C и D. Докажите, что KC = KD.

Замечание: точки C, D и K лежат по одну сторону от AB, и точка K лежит вне окружности S3.

(С.~Берлов)

Задача 3:

На доске 1001 × 1001 отмечено несколько клеток так, что никакие две соседние клетки не отмечены, но клеток, граничащих с отмеченными по стороне, меньше чем отмеченных. Сколько клеток отмечено?

(Ф.~Бахарев)

Задача 4:

Существуют ли 1000 натуральных чисел такиx, что наибольшие общие делители всевозможных наборов этих чисел (по два, по три, , по тысяче) попарно различны?

(С.~Берлов)

Задача 5:

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. На отрезке A1C1 выбрали точки A2 и C2 такие, что отрезок B1A2 делится высотой CC1 пополам и пересекает высоту AA1 в точке K, a отрезок B1C2 делится высотой AA1 пополам и пересекает высоту CC1 в точке L. Докажите, что KL || AC.

(Ф.~Бахарев)

Задача 6:

На координатной плоскости расположены 100 точек. Докажите, что существует не более 2025 = 45² прямоугольников с вершинами в этих точках и со сторонами, параллельными осям.

(С.Иванов)

Задача 7:

a и b  различные натуральные числа такие, что a² + b делится на b² + a и b² + a  степень простого числа. Найдите эти числа.

(С.~Берлов)

Задача 8:

Сеть авиалиний считается надежной, если после закрытия любого аэропорта из любого открытого аэропорта можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). В стране 2000 аэропортов и изначально нет авиалиний. Две авиакомпании по очереди вводят новые беспосадочные авиалиний. Авиакомпания, после хода которой получается надежная сеть авиалиний, проигрывает. Какая из авиакомпаний выиграет при правильной игре?

(Д.~Карпов)

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW