Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. 2001. Городской тур. 11 класс (без решений)

Задача 1:

Существуют ли такие различные числа x, y, z из [0, п /2], что шесть чисел  sin x,  sin y,  sin z,  cos x,  cos y и  cos z можно разбить на три двойки с равными суммами.

Задача 2:

В стране 2000 городов и полностью отсутствуют дороги. Докажите, что можно соединить дорогами некоторые города так, чтобы из двух городов выходило по одной дороге, из двух по две дороги, из двух по три, , из двух по 1000 дорог.

(Ф.Бахарев)

Задача 3:

Точки A1, B1 и C1 середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. На средних линиях C1B1 и A1B1 отмечены точки E и F так, что прямая BE содержит биссектрису угла AEB1, а пряма BF биссектрису угла CFB1. Докажите, что углы BAE и BCF равны.

(Ф.Бахарев)

Задача 4:

Для любых натуральных чисел n > m докажите неравенство

где [x,y] наименьшее общее кратное чисел x и y.

(А.Голованов)

Задача 5:

Точка I центр окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, а точка H ортоцентр этого треугольника. Точка M середина меньшей дуги AC описанной окружности треугольника ABC. Оказалось, что MI = MH. Найдите угол  о ABC.

(Ф.Бахарев)

Задача 6:

Найдите все такие функции , что для любых целых x и y выполняется соотношение f(x + y + f(y)) = f(x) + 2y.

(Ф.Петров)

Задача 7:

Из таблицы 20 а 20 вырезали прямоугольники 1 а 20, 1 а 19, , 1 а 1. Докажите, что наибольшее количество прямоугольников 1 а 2, которое заведомо можно вырезать из оставшейс части таблицы равно 85.

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW