Организации участники проекта
ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИИ

HotLog

Rambler's Top100
КАТАЛОГ
Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. 2001. Отборочный тур. 11 класс (без решений)

Задача 1: Докажите, что существует бесконечно много натуральных n таких, что наибольший простой делитель числа n4 + 1 больше 2n.

Задача 2: Внутри остроугольного треугольника ABC выбираются произвольная точка M такая, что  ∠ AMC +  ∠ ABC = 180. Прямые AM и CM пересекают стороны BC и BA соответственно в точках D и E. Докажите, что описанные окружности треугольника BDE проходит через некоторую фиксированную точку, не зависящую от выбора точки M (отличную от B).

(Ф.Петров)

Задача 3:

Задача 4: Даны вещественные числа x1, x2, , x10 из отрезка [0, π /2], сумма квадратов синусов которых равна 1. Докажите неравенство 3( sin x1 +  sin x2 +    +  sin x10) ≤  cos x1 +  cos x2 +    +  cos x10.

Задача 5: Дан выпуклый 2000-угольник M, наибольшее из расстояний между его вершинами равно 1. Известно, что площадь любого выпуклого 2000-угольника, наибольшее из расстояний между вершинами которого равно 1, не превосходит площади многоугольника M. Докажите, что у многоугольника M есть две перпендикулярные диагонали.

(Ф.Бахарев)

Задача 6: Натуральные числа a и b не равны 1. Последовательность xn задана начальными условиями x0 = 0 и x1 = 1 и соотношениями ()

Докажите, что при любых натуральных m и n произведение xn + m  xn + m  1      xn + 1 делится на xm  xm  1      x1.

(Ю.Певцова)

Разделы:
ПОИСК

 

ПАРТНЕРЫ

  

  

  

 
©2002-2009 Федеральное агентство по образованию
©2002-2009 СПбГУ ИТМО
©2002-2009 Разработка сайтов — 1ADW